Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

2. Моделирование и идентификация парной нелинейной регресси и

3. Моделирование и идентификация множественной линейной регресси и

4. Моделирование и идентификация временных рядов

4.1. План работы

В процессе выполнения данной работы необходимо:

-синтезировать модель Монте-Карло временного ряда (прямая задача).

-вычислить параметры временного ряда (обратная задача идентификации) на основе метода наименьших квадратов и получить уравнение прогноза.

-вычислить параметры временного ряда (обратная задача идентификации) на основе процедуры Юла-Уокера и получить уравнение прогноза.

-составить отчет по работе.

4.2. Модель Монте-Карло временного ряда .

В общем виде модель авторегрессии-скользящего среднего АРСС(p,q) имеет вид:

, где (4.1)

f_t –значение временного ряда в момент времени t ,

f_t – значение временного ряда в момент времени t-1, t-2,…,t-k ,

a_i b_i – коэффициенты модели,

n_t , n_t-1 ,…, n_t-k – значения случайного центрированного (математическое ожидание равно нулю) и нормированного (среднее квадратическое отклонение равно единице) импульса типа «белый шум» в моменты времени t, t-1, t-2,…, t- k .

Коэффициент a₀ определяет (но не равен ему) среднее значение ряда (но не равен ему).

Анализ временных рядов удобно производить с помощью дискретного преобразования Лапласа или z -преобразования (основанным на гармоническом разложении Фурье и преобразовании Фурье). Таблица 4.1 представляет весьма простые формулы для преобразования временного ряда, представленного во временной области, в ряд в терминах z -преобразования и обратно.

Таблица 4.1.

Основная теорема z -преобразования
Описание процесса во временной области	Описание процесса во области z -преобразования

Преимущество рассмотрения временных рядов в области z -преобразования по сравнению с их анализом во временной области заключается в понижении «сложности» математических действий. Так операции дифференцирования, интегрирования, умножения, деления во временной области в z -пространстве заменяются на операции умножения, деления, сложения, вычитания, соответственно.

Значительным преимуществом представления временных рядов в z -пространстве является то, что это позволяет проводить математические действия над ними (складывать, вычитать, умножать, делить).

Без нарушения общности для простоты положим, что коэффициент a₀ равен нулю.

На основании формул в данной таблице временной ряд (4.1) в терминах z-преобразования (с учетом равенства нулю коэффициента a₀ ) будет выглядеть как:

(4.2)

Преобразуя данное выражение (вынося за скобки) f( z) и n( z) получаем;

,

Откуда:

Полином:

(4.3)

определяет «авторегрессионную» составляющую модели.

Полином:

(4.4)

представляет собой составляющую «скользящее среднее».

Уравнение:

(4.5)

называется характеристическим уравнением.

Корни данного уравнения полностью описывают поведение временного ряда. Для стационарных процессов все корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше единицы

Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженными, то во временном ряду имеет место гармоническая составляющая.

В данной контрольной работе рассматривается модель авторегрессии 2-го порядка АРСС(2,0) или АР (2).

Соответственно модель авторегрессии 2-го порядка во временной области будет иметь вид

, (4.6 )

а в z -преобразовании:

(4.7)

Характер временного ряда определяется корнями характеристического уравнения:

(4.8)

Домножим левую и правую части на z² и получим квадратное уравнение:

(4.9)

Корни характеристического уравнения определяются как:

(4.10)

По определению корней уравнения имеем:

(4.11)

или:

(4.12)

Сопоставляя данное уравнение с (4.9) находим коэффициенты модели:

(4.13)

Пусть корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

, где (4.14)

Re , Im – действительная и мнимая части корней характеристического уравнения, соответственно.

Тогда на основании уравнения (4.13) получаем:

, где (4.15)

М – модуль корней характеристического уравнения

Рисунок 4.1 представляет единичный круг с комплексно-сопряженными корнями.

Для стационарного временного ряда все корни характеристического уравнения находятся внутри единичного круга (Рисунок 4.1).

(4.16)

Рисунок 4.1<

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать