Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Министерство общего и профессионального образования Астраханский Государственный Педагогический Университет Бакалаврская работа

Студентки IV курса физико–математического факультета

Ночевной Светланы Павловны Кафедра: Математического анализа Тема: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития Научный руководитель ст. преподаватель Пономарёва Н.Г. Астрахань 1998 г. План.

1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

1.1. Определение производной и её геометрический смысл.

1.2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

1.3. Инвариантность формы первого дифференциала.

1.4. Дифференциал суммы, произведения и частного.

1.5. Геометрическая интерпретация дифференциала.

2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.

2.2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

2.3. Основные свойства неопределённого интеграла.

2.4. Метод непосредственного интегрирования.

2.5. Метод замены переменной (способ подстановки).

2.6. Интегрирование по частям.

2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

2.8. Основные свойства определённого интеграла.

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

2.11. Формула Ньютона–Лейбница.

2.12. Замены переменных в определённых интегралах.

2.13. Интегрирование по частям.

3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

3.1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.

3.2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

3.3. Теорема Паскаля.

3.4. «О глубокой геометрии» Лейбница.

3.5. «Метод флюксий» Ньютона.

3.6. Дифференциальные методы.

Цель работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей их развития».

1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

1.1. Определение производной и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(х ) определена в окрестности точки х _о . возьмём точку х ₁ этой окрестности, отличную от х _о .

Определение. Разность х ₁ – х ₀ , которую обозначают символом Dх , будем называть приращением независимой переменной.

Определение . Подобным образом соответствующая разность

у ₁ – у ₀ = f (х ₁ ) – f (х ₀ ), обозначается символом Dу и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.

Получаются следующие соотношения:

х ₁ = х ₀ + Dх ,

у ₁ = у ₀ + Dу ,

у ₀ + Dу = f (х ₀ + Dх )

Так как у ₀ = f (х ₀ ),

то Dу = f (х ₀ + Dх ) – f (х ₀ ).

Dу f (х 0 +Dх )– f (х 0 ) Dх Dх

Определение . Частное будем называть разностным отношением.

Выражение f (х ₀ + D х )– f (х ₀ )

Dх

(принимая что х ₀ имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения Dх .

Определение. Если предел этого выражения при Dх , стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f (х ) по х в точке х ₀

dу dх

lim f (х 0 + Dх )– f (х 0 ) lim Dу Dх ®0 Dх Dх ®0 Dх

Итак, = = f’ (х ₀ ) = у’_х = у’=

Пример. у=х² . Вычислите производную для х= 2.

Имеем: f (х+ Dх ) = (х+ Dх )² ,

Поэтому Dу = (х+ Dх )² – х ² = 2х Dх+( Dх)²

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать Рефераты по математикеМинистерство общего и профессионального образования Астраханский Государственный Педагогический Университет Бакалаврская работа Студентки IV

Dу Dх