Функция многих переменных

. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.

План.

1. Определение функции многих переменных.

2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.

1. Обозначим через D некоторое множество точек в п -мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М (х ;...;х )D ставится в соответствие число и , то говорят, что на множестве D определена функция и =f (х ;...;х ).

Множество точек М (х ;...;х ), для которых функция и =f (х ;...;х ) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D (f ).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и =f (М ), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М .

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z = f (х ;у ) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х ;у ;z ) удовлетворяют уравнению z = f (х ;у ).

2. Обозначим через (М ;М ) расстояние между точками М и М. Если п =2, М (х ;у ), М (х ;у ), то

(М ;М )=.

В п -мерном пространстве

(М ;М )=.

Пусть на множестве D задано функцию и =f (М ).

Число А называется пределом функции и =f (М ) в точке М, если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек М D , которые удовлетворяют условию 0<(М ;М )<, выполняется неравенство

.

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f (М ) и g (М ) имеют в точке М конечные пределы, то

1. = с ,

2. =,

3. =.

4. если .

Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М .

Функция и =f (М ) называется непрерывной в точке М , если

= f (М ).

Функция и =f (М ) называется непрерывной на множестве D , если она непрерывна в каждой точке М D .

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z = имеет разрыв в точке (0;0), а функция z = имеет разрыв на параболе

3. Множество точек М , которые удовлетворяют неравенству (М ;М )<, называют -окрестностью точки М .

Пусть функция двух переменных z = f (x ;у ) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x ;у ). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ;у ) принадлежала этой окрестности. При этом функция z = f (x ;у ) изменится на величину

,

которая называется частичным приращением функции z = f (x ;у ) по переменной х.

Аналогично величину

называют частичным приращением функции по переменной у.

Если существует предел

,

то его называют частной производной функции z = f (x ;у ) в точке М (x ;у ) по переменной х и обозначают такими символами:

,,,.

Аналогично

= .

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных , функцииz = f (x ;у ) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Гради

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать