Случайные события

Случайные события

Оглавление

Опыт со случайным исходом.. 2

Статистическая устойчивость. 2

Понятие вероятности.. 3

Алгебра событий.. 4

Основная терминология в алгебре событий.. 8

Принцип двойственности для событий.. 10

Условные вероятности.. 12

Формула сложения вероятностей.. 12

Формула умножения вероятностей.. 13

Обобщение формулы сложения вероятностей.. 14

Обобщение формулы умножения вероятностей.. 15

Формула полной вероятности.. 16

Формула Байеса. 17

Пространство элементарных событий.. 17

Аксиомы теории вероятностей.. 19

Дискретное вероятностное пространство.. 20

Статистическая устойчивость

В последовательности экспериментов со случайным исходом невозможно точно предсказать результаты отдельных опытов, так как в этих результатах обнаруживаются нерегулярные случайные колебания, не поддающиеся точному учету. Однако, если рассматривать последовательность в целом, а не отдельные результаты, то можно обнаружить чрезвычайно важное явление: несмотря на нерегулярное изменение результатов в отдельных опытах, средние результаты в достаточно длинной последовательности экспериментов со случайным исходом обнаруживают устойчивость.

Пусть в результате эксперимента событие может произойти или не произойти. Если выполнено экспериментов , в которых событие произошло раз, то число

(2.1)

называется частотой появления события .

Экспериментально установлено, что при увеличении частота имеет тенденцию сходиться к некоторому постоянному значению. Об этом экспериментальном факте говорят как об устойчивости частоты, или о статистической устойчивости. Однако, не следует думать, что всякий эксперимент со случайным исходом обладает свойством устойчивости частоты. В теории вероятностей речь идет только об экспериментах, обладающих этим свойством. В качестве иллюстрации свойства статистической устойчивости рассмотрим график зависимости частоты появления герба при бросании монеты от числа опытов, представленный на рис.2.1. Для построения этого графика выполнялось бросание монеты 30 раз, в каждом опыте фиксировался исход и вычислялась частота по формуле (2.1), где - число опытов, из которых в опытах появился герб.

Рис. 2.1. График частоты появления герба как функции числа

бросаний монеты.

Естественно выдвинуть предположение о существовании предела,

, (2.2)

к которому стремится частота с увеличением числа опытов. Однако, это предположение не может быть доказано или отвергнуто опытом. Но опыт подтверждает более слабое утверждение об устойчивости частоты появления события. Факт статистической устойчивости и является эмпирической основой теории вероятностей и математической статистики.

Понятие вероятности

Теория вероятностей - это математическая теория, которая дает описание экспериментов со случайными исходами, обладающих свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей строится как аксиоматическая теория, то есть в ее основу положена система аксиом. В свою очередь аксиомы сформулированы на основе экспериментальных данных, а именно на свойствах частоты и, в частности, на факте статистической устойчивости, состоящем в тенденции частоты появления события стать постоянной и равной некоторому числу при большом числе повторений эксперимента .

Таким образом, при построении теории необходимо ввести число называемое вероятностью события , что реализуется с помощью одной из аксиом, которая называется аксиомой существования вероятности. Далее необходимо рассмотреть основные свойства частот и выразить эти свойства как утверждения относительно свойств вероятностей. Эти утверждения вместе с постулатом существования вероятности образуют систему аксиом теории вероятностей.

Частоту можно рассматривать как результат измерения (оценивания) вероятности по экспериментальным данным. Таким образом, равенство означает, что при большом числе опытов , а ошибка имеет тенденцию снижаться с увеличением . Поскольку , то частота появления события в серии из опытов удовлетворяет условию

. (3.1)

Аналогичному условию должна удовлетворять и вероятность:

. (3.2)

Рассмотрим значения вероятности на границах интервала . Пусть , тогда событие называется невозможным и обозначается символом . Для невозможного события его частота и имеет тенденцию приближаться к нулю с увеличением числа опытов. Если , то событие называется достоверным и обозначается символом . Частота достоверного события и с увеличением числа опытов имеет тенденцию приближаться к единице.

Алгебра событий

Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть - некоторое событие.

1. Дополнением события называется событие , состоящее в том, что событие не произошло.

Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий таково, что исход каждого опыта – это попадание точки в область плоскости, рис.4.1. Реал

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать