Решение задач по теории вероятности

Кремер Н.Ш.

Теория вероятностей

Примеры решений типовых задач

и задания для студентов
1 ГЛАВА

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

В главе рассматриваются:

- классификация событий;

- классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности;

- непосредственное вычисление вероятностей;

- действия над событиями;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- формула Байеса.

Типовые задачи

Пример 1.1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:

а) только 2-й экзамен;

б) только один экзамен;

в) три экзамена;

г) по крайней мере два экзамена;

д) хотя бы один экзамен.

Решение

а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i -й экзамен (i = 1, 2, 3);

В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех.

Очевидно, что В = , т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A₁ , А₂ , А₃ независимы, получим

б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е.

в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D = A₁ A₂ A₃ . Тогда

г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.

и

д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А₁ + А₂ + А₃ = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = , т.е. применить формулу (1.27).

Итак,

т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

Пример 1.2

Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К₁ или одновременный выход из строя двух элементов – К₂ и К₃ . Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

Решение

Обозначим события: Ai - выход из строя элемента Ki ( i - 1, 2, 3…);

B – разрыв электрической цепи.

Очевидно, по условию событие B произойдет, если произой­дет либо событие А₁ , либо A₂ A₃ , т.е. B = А₁ + А₂ А₃ . Теперь, по формуле (1.25)

(при использовании теоремы умножения учли независимость событий A₁ , A₂ и А₃ ).

Пример 1.3

Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из нерассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что: а) одна из них обработана на 3-м станке;

б) обе обработаны на одном станке?

Решение

а) Обозначим события: Ai – деталь обработана на i -м станке (i = 1, 2, 3);

В – одна из двух взятых деталей обработана на 3-м станке.

По условию , , .

Очевидно, что B= A₁ A₃ + A₂ A₃ + A₃ A₁ + A₃ A₂ (при этом надо учесть, что либо первая деталь обработана на 3-м станке, либо вторая). По теоремам сложения и умножения (для независимых событий)

б) Пусть событие С – обе отобранные детали обработаны на одном станке. Тогда

C= A₁ A₁ + A₂ A₂ + A₃ A₃ и P(C) = 0,1*0,1 + 0,3*0,3 + 0,6*0,6 = 0,46.

Пример 1.4

Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?

Решение

Обозначим события: А₁ , А₂ – студент подготовил 1-й, 2-й вопросы билета по каждой теме;

Bi – студент

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать