Численные методы

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ax=f T (1)

де A- матриця m*m, x=(x1,x2,...,xm)- шуканийвектор,

Т

f=(f1, f2, ... , fm) -заданий вектор.

Припускаємо, що та визначник матриці А відмінний від нуля, так що існує єдиний розв’язок х. З курсу алгебри відомо, що систему (1) можна розв’язати за формулами Крамера*. Для великих m цей спосіб практично нереалізований тому, що потребує порядку m! aрифметичних дій. Тому широко використовуються інші методи розв’язання, наприклад, метод Гаусса**, який потребує дій.

Методи чисельного розв’язання системи (1) поділяються на дві групи:

-прямі методи;

-ітераційні методи.

У прямих (або точних) методах розв’язок x системи (1) відшукується за скінченну кількість арифметичних дій. Внаслідок похибок заокруглення прямі методи насправді не приводять до точного розв’язку системи (1) і назвати їх точними можливо лише залишаючи осторонь похибки заокруглення.

Ітераційні методи (їх також називають методами послідовних наближень)полягають у тому, що розв’язок x системи (1) відшукується як границя при послідовних наближень де n- номер ітерації. Як правило, за скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.

______________________

* Крамер Габрієль (1704-1752)- швейцарський математик.

** Гаус Карл Фридрих (1777-1855)- німецький математик, астроном, фізик, геодезист, професор Гетінгенського університету.

МЕТОД ГАУССА .

Запишемо систему (1) у розгорнутому вигляді:

а11x1+a12x2+...+a1mxm=f1 ,

a21x1+a22x2+...+a2mxm =f2 , (2)

......................................

am1x1+am2x2+...+ammxm =fm .

Метод Гаусса розв’язання системи (2) полягає у послідовному вилученні невідомих x1, x2, ..., xm-1 з цієї системи.

Припустимо, що a110 . Поділив перше рівняння на a11, одержимо

x1+c12x2 +...+c1m xm =y1 , (3)

де : c1j=a1j /a11 ; j=2,m ; y1=f1/a11 .

Розглянемо тепер рівняння системи (2), що залишилися

ai1x1+ai2x2+...+aimxm=fi ; i= 2,m . (4)

Помножимо (3) на ai1 та віднімемо одержане рівняння з і-го рівняння системи (4), i=2,m.

У результаті одержимо наступну систему рівнянь:

x1+c12x2+...+c1jxj+...+c1mxm =y1 ,

(1) (1) (1) (1)

a22x2+... +a2jxj+...+a2mxm=f2 ,

............................................ (5)

(1) (1) (1) (1)

am2x2+...+amjxj+...+ammxm=fm .

Tут позначено:

(1) (1)

aij=aij-c1jai1; fi=fi -y1ai1; i,j=2,m . (6)

Матриця системи (5) має вигляд:

.

Матриці такої стуктури заведено позначати так:

де хрестиками позначені ненульові елементи.

У системі (5) невідоме х міститься тільки в першому рівнянні, тому у подальшому достатньо мати справу із скороченою системою рівнянь:

(1) (1) (1) (1)

a22x2 +...+a2jxj +...+a2mxm =f2 ,

.............................................. (7)

(1) (1) (1) (1)

am2x2 +...+amjxj +...+ammxm =fm .

Тим самим ми здійснили перший крок методу Гаусса . Коли , то з системи (7) зовсім аналогічно можна вилучити невідоме x2 і прийти до системи, еквівалентній (2),що має матрицю такої структури:

При цьому перше рівняння системи (5) залишається без зміни.

Вилучая таким же чином невідомі х 3, х4 ,... ,xm-1,приходимо остаточно до системи

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать