Компьютерное моделирование 3

Содержание

1. Модель войны или сражения. 2

2. Модель Мальтуса. 4

3. Система хищник-жертва. 8

4. Построение фракталов. 11

4.1. Треугольник Серпинского. 11

4.2. Построение множества «Папоротник». 12

1. Модель войны или сражения

Противостояние двух противников, например двух армий, может быть описано с помощью модели Ланкастера. В ней состояние системы описывается точкой (x,y) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, x и y — это численности противостоящих армий. Модель описывается с помощью системы уравнений:

Здесь a — мощность оружия армии x, а b — армии y . Здесь предполагается, что каждый солдат армии x убивает за единицу времени a солдат армии y и каждый солдат армии y убивает b солдат армии x . Точка над буквой здесь и далее означает производную по времени t , то есть скорость изменения обозначенной буквой величины.

Это жесткая модель, которая допускает точное решение

, где с – некоторая константа.

Последнее уравнение имеет несколько вариаций. Для исследования предложенной модели будем использовать запись , варьируя мощности оружия армий xи y с помощью параметра с .

Для исследования модели будем использовать возможности системы компьютерной математики Maxima.

В системе Maxima есть встроенная функция для построения графиков

функций, заданных неявно. Ее синтаксис:

implicit_plot (expr, x_range, y_range)

implicit_plot ([expr_1, ..., expr_n], x_range, y_range)

где expr – уравнение, задающее неявную функцию, x_range и y_range – промежутки изменения переменных x и y.

Для того, чтобы можно было использовать функцию implicit_plot, необходимо подключить пакет, содержащий эту функцию, с помощью команды load(implicit_plot).

Листинг 1

Рисунок 1 Модель войны (сражения)

Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.

Эти гиперболы разделены прямой, которой соответствует значения параметра с =0. Если начальная точка лежит выше этой прямой (случай с < 0 на рис. 1), то гипербола выходит на ось y . Это значит, что в ходе войны численность армии x уменьшается до нуля (за конечное время). Армия y выигрывает, противник уничтожен.

Если начальная точка лежит ниже (случай с > 0 ), то выигрывает армия x . В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой) война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены.

Вывод : для борьбы с вдвое более многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным — в девять раз и т. д. (на это указывают квадратные корни в уравнении прямой).

На самом деле простейшая модель дает даже полезное количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной прямой в нуле определяется формулой , где a и b — значения коэффициентов в нуле, соответствует случаю с = 0.

То есть принцип «если противников вдвое больше, то надо иметь в четыре раза более мощное оружие» справедлив на конечном этапе взаимного истребления, в то время как на начальном этапе войны число 4 нужно откорректировать (учитывая вид коэффициентов a и b ).

2. Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

,

где k — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность (k > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов.

Для исследования модели будем использовать возможности системы компьютерной математики Maxima. Меняем значение параметра k , строим графики:

1) к=0.2;

Листинг 2

Рисунок 2 Модель Мальтуса (к=0.2)

2) к=2;

Листинг 3

Рисунок 2 Модель Мальтуса (к=2)

3) к=15;

Листинг 4

Рисунок 4 Модель Мальтуса (к=15)

Вывод: если рождаемость превосходит смертность (k > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает.

3. Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x , число лис y . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра — Лотки:

где x– число жертв, у – число хищников, – прирост жертв

a>0, b>0, где a – скорость размножения жертв в отсутствие хищников, - by – потери от

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать