Решение математических задач в среде Excel

1.

2. Решение математических задач в среде Excel

2.1. Численное дифференцирование

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеет вид:

Для вычисления производной в Excel будем использовать приведенную зависимость.

Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.

Упражнение 1

Допустим требуется найти производную функции Y= 2x³ + x² в точке x=3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.

Для вычисления производной выполните следующие действия:

-

табулируйте заданную функцию в окрестности точки х=3 с достаточно малым шагом, например 0,001 (см рис.)

_- в ячейку С2 введите формулу вычисления производной. Здесь ячейка В2 содержит значение х_{к+1 ,} ячейка А2 - х_{к .}

- буксировкой скопируйте формулу до строки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Для значения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.

2.2. Численное вычисление определенных интегралов

Для численного вычисления определенного интеграла методом трапеций используется формула:

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.

Упражнение 2

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с использованием приведенной формулы выполните следующие действия:

- табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

- в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.

-

Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла - 9.

2.3. Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения .

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.

Упражнение 3

Пусть задана неразрывная функция Y= X² +X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполните действия:

- В ячейку А2 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;

- В ячейку В2 введите формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

- Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;

- Настройте параметры инструмента Поиск решения : число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

- в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячейки, содержащей Х (А2);

- Щелкните на кнопке Выполнить. В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальное значение, а в ячейке В2 – минимальное значение функции.

Обратите внимание, что в окне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целесообразно использовать, если функция многоэкстремальна, а нужно найти экстремум в заданном диапазоне изменения аргумента.

2.4. Решение систем линейных уравнений

2.4.1. Встроенные функции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1.1).

Таблица 1.1

Русифицированное имя функции	Англоязычное имя функции	Выполняемое действие
МОБР (параметр)	MINVERSE (parametr)	обращение матрицы
МОПР (параметр)	MDETERM (parametr)	вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ (список параметров)	MMULT (parametrlist)	Умножение матриц

Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например

МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).

2.4.2. Решение систем линейных уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение такой системы записывается в виде

X=A^-1 B,

Где A-1 –матрица, обратная по отношению к А.

2.4.3. Пример решения системы линейных уравнений:

Пусть система уравнений задана матрицами:

Для решения задачи выполните действия:<

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать