Образующие элементы в различных группах

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Исследование алгебраических уравнений в начале XIX века привело математиков к необходимости выделения особого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным, что не только проникло почти во все разделы современной математики, но и стало играть важную роль в некоторых разделах других наук, например, в квантовой механике и в кристаллографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — теорию групп. Что же представляет собой понятие группы в математике? Какой смысл несут образующие элементы в группе? Что такое система образующих? На эти и другие вопросы предстоит ответить в данной работе.

Работа посвящена рассмотрению и описанию образующих элементов в теории групп. Группа — один из основных типов алгебраических систем, а теория групп — один из основных разделов современной алгебры.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющих многочисленные применения как в самой математики, так и за ее пределами — в топологии, теории функции, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие же группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Образующие элементы в группе — это базовое понятие теории. Элементы эти можно сравнить с буквами, из которых состоят слова. Отсюда делаем вывод, что изучение темы: «Образующие элементы» — имеет практическое и теоретическое значение, а в следствии этого актуальным на сегодняшний день…

Целью данной работы является рассмотрение образующих элементов в различных группах, а также описание того, как ведут себя образующие элементы и системы образующих в тех или иных группах.

А для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи:

— рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы

— определение сущности понятия образующих элементов

— рассмотрение систем образующих элементов

— введение понятия непорождающих элементов

— анализ поведения образующих элементов в различных группах

— рассмотрение графического описания групп и др.

Объектом исследования в работе являются группы различных видов, а соответственно, предметом исследования являются образующие элементы группы. Так как образующий элемент — это одно из основных понятий группы, следовательно, предмет исследования является частью объекта исследования.

Опишем вкратце содержание.

Глава 1 посвящена изучению основных понятий группы. Содержит все необходимые для дальнейшего изучения сведения из теории групп. Здесь же вводится понятие образующего элемента, а также системы образующих. Кроме того, приводится большое количество наглядных примеров групп различных видов с различными элементами, в том числе и циклических групп.

Известно, что геометрическим эквивалентом групп являются графы. Вторая глава работы полностью посвящена графическому представлению групп, т.е. графам. Здесь будут рассмотрены подробные примеры различных групп, представленных графами, а именно конечные и бесконечные группы, а также некоторые свойства графов. Кроме того, в этой главе мы узнаем, что ставится в соответствие в графе элементам и образующим группы, и каковы образующие элементы конечных и бесконечных групп.

Глава 3 — это практическая часть курсовой работы. Здесь приводится ряд основных задач и упражнений, посвященных теме «образующие элементы».

Курсовое исследование написано при использовании литературы по теории групп, комбинаторной теории групп, основам алгебры, введению в теорию групп, группам и их графам. Кроме того, использовались интернет-ресурсы. Библиографический список представлен в конце курсовой работы.

Список литературы, используемой в данной работе, можно рекомендовать для изучения других проблем, не освещенных в данной курсовой работе.

ГЛАВА 1. ГРУППЫ И ИХ ОБРАЗУЮЩИЕ

1.1. Основные понятия группы

1.1.1. Алгебраическая операция

Весьма часто <…> в различных приложениях встречаются множества, в которых определена (или в данный момент рассматривается) лишь одна алгебраическая операция. Дадим определение этого понятия.

Определение

Пусть дано некоторое множество М. Мы говорим, что в М определена бинарная алгебраическая операция , если всяким двум (различным или одинаковым) элементам множества М ,взятым в определенном порядке, по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный третий элемент, принадлежащий к этому же множеству[1] ).

Требование однозначности операции и требование ее выполнимости для любой пары элементов входят, следовательно, в определение алгебраической операции. С другой стороны, в этом определении содержится указание на порядок, в котором берутся элементы множества М при выполнении операции. Иными словами, не исключается возможность того, что паре элементов а ,b из М и паре b , а будут поставлены в соответствие различные элементы из М,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать