Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода

2.2 Геометрическая интерпретация

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

ВВЕДЕНИЕ

Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени

a₀ xⁿ +a₁ x^{n -1} +…+a_{n -1} x+a_n =0, a₀ ¹0

при n³5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Для неалгебраических уравнений типа

х–cos(x)=0

задача еще более усложняется. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким случаем не удается.

В условиях, когда формулы "не работают", когда рассчитывать на них можно только в самых простейших случаях, особое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы. Известен целый ряд алгоритмов, позволяющих решить рассматриваемую задачу.

Если записать уравнение в виде

f(x) =0,

то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.

Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом простой итерации.

1. Постановка задачи

Дано уравнение:

.

Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна на отрезке [A;B].

Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X₀ , от которого алгоритм начинает идти.

Пример.

Найдем корень уравнения

.

Рисунок 1. Функция

Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [-0.4,0].

Приведем уравнение к виду x=f(x), где

.

Проверим условие сходимости:

.

Рисунок 2. График производной

Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка

.

.

Выполним 3 итерации по расчетной формуле

x= (x),

1 итерация .

2 итерация .

3 итерация .

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода простых итераций

Рассмотрим уравнение

f(x)=0 (2.1)

с отделенным корнем X[a, b]. Для решения уравнения (2.1) методом простой итерации приведем его к равносильному виду:

x=φ(x). (2.2)

Это всегда можно сделать, причем многими способами. Например:

x=g(x) · f(x) + x ≡ φ(x),

где g(x) - произвольная непрерывная функция, не имеющая корней на отрезке [a,b].

Пусть x⁽⁰⁾ - полученное каким-либо способом приближение к корню x (в простейшем случае x⁽⁰⁾ =(a+b)/2). Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении членов итерационной последовательности:

x^(k+1) =φ(x^(k) ), k=0, 1, 2, ... (2.3)

начиная с приближения x⁽⁰⁾ .

УТВЕРЖДЕНИЕ: 1 Если последовательность {x^(k) } метода простой итерации сходится и функция φ непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x=φ(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть

. (2.4)

Перейдем к пределу в равенстве x^(k+1) =φ(x^(k) ) Получим с одной стороны по (2.4), что а с другой стороны в силу непрерывности функции φ и (2.4)

.

В результате получаем x^* =φ(x^* ). Следовательно, x^* - корень уравнения (2.2), т.е. X=x^* .

Чтобы пользоваться этим утверждением нужна сходимость последовательности {x^(k) }. Достаточное условие сходимости дает:

ТЕОРЕМА 2.1: (о сходимости) Пусть уравнение x=φ(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) φ(x) C¹ [a,b];

2) φ(x) [a,b] " x [a,b];

3) существует константа q > 0: | φ '(x) | ≤ q < 1 x [a,b]. Tогда итерационная последовательность {x^(k) }, заданная формулой x^(k+1) = φ(x^(k) ), k=0, 1, ... сходится при любом начальном приближении x⁽⁰⁾ [a,b].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим два соседних члена последовательности {x^(k) }: x

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать