Оптимизация. Методы многомерного поиска

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования “Гомельский государственный университет им.Ф. Скорины”

Математический факультет

Кафедра ВМ и П

“Оптимизация. Методы многомерного поиска”

Выполнили

студентки группы М - 51, М - 52

Лаптева Е.Н., Кулай Н.В.

Научный руководитель

Орлов В.В.

Гомель 2002

Содержине

Введение

1. Основы теории оптимизации

1.1 Проектные параметры

1.2 Целевая функция

1.3 Поиск минимума и максимума

1.4 Пространство проектирования

1.5 Ограничения - равенства

1.6 Ограничения - неравенства

1.7 Локальный оптимум

1.8 Глобальный оптимум

2. Методы многомерного поиска

3. Метод покоординатного подъема

4. Метод исключения областей

5. Метод случайного поиска

6. Градиентные методы

6.1 Ступенчатый наискорейший подъем

Литература

Введение

Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов. В последние годы этим методам уделялось большое внимание, и в результате был разработан целый ряд высокоэффективных алгоритмов, позволяющих найти оптимальный вариант конструкции при помощи ЭЦВМ. В данной методической разработке излагаются основы теории оптимизации, рассматриваются принципы, лежащие в основе построения алгоритмов оптимальных решений, описываются наиболее известные алгоритмы, анализируются их достоинства и недостатки.

1. Основы теории оптимизации

Термином "оптимизация" в литераторе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, или "оптимального", решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.

Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую т уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если т= n, задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение. Если т> n, то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при т< n задача недоопределена и имеет бесконечно много решений. В практике проектирования чаще всего приходится иметь дело с задачами третьего типа. При этом инженеру помогает интуиция, позволяющая сформулировать условия для выбора оптимального варианта. Очевидно, что изделие или технологический процесс, выгодно отличающееся от аналогичных изделий и процессов, будет пользоваться на рынке большим спросом. В этом и состоит смысл поиска оптимальных решений.

Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений.

1.1 Проектные параметры

Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные параметры через x с соответствующими индексами. Таким образом n проектных параметров данной задачи будем обозначать через x ,x ,x , …x .

1.2 Целевая функция

Это - выражение, значение которого инженер стремится сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами M= M ( x ,x ,x , …x ).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1).

Продолжительность эксплуатации

(проектный параметр)

Рис.1. Одномерная целевая функция

Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать