Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ИНФОРМАТИКЕ

на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ

Работу выполнила:

студентка I курса

специальности РРТ (ускор.)

Турчина

шифр: 011р-469

2001 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Индивидуальное задание - 3

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши - 4

1.1. Теоретические сведения - 4

1.2. Ручной расчёт решаемой задачи - 6

2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9

2.1. Теоретические сведения - 9

2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений - 10

3. Решение системы уравнений методом Гаусса - 11

4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13

5. Расчёт погрешности аппроксимации - 14

6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16

Литература - 21

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / Ö0.3 ) с начальными условиями x₀ = 0.7 y₀ = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1.

2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши.

3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов.

4. Рассчитать погрешность аппроксимации.

5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.

6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать :

- значения функции y( x_i ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках x_i , найденные с шагом h и с шагом h/2 ;

- значения аппроксимирующей функции F( x_i ) в точках x_i ;

- значение погрешности аппроксимации _i = F( x_i ) - y_i .

- величину средне - квадратичного отклонения.

1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x₀ , т.е. y(x₀ ) = y₀ , а так же интервал [ x₀ - x_n ].

Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

y_{i+1 *} = y_i + h f( x_i ; y_i ), где i = 0,1,2 ... n

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_{i+1 *} )) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (x_n - x_o ) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1*, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.

Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1*, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

1.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ

По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / Ö0.3 ) с начальными условиями x₀ = 0.7, y₀ = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1 .

По формуле метода Эйлера -Коши

y_{i+1 *} = y_i + h f( x_i ; y_i ),

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_{i+1 *} )) / 2

Найдем y_{1 *} и y₁

f( x₀ ; y₀ ) = 0.7 + cos (2.1 / Ö0.3 ) = - 0.069675

x₁ = x₀ + h = 0.7 + 0.1=0.8

y_1* = y₀ + h * f( x₀ ; y₀ ) = 2.1 + 0.1 * (- 0.069675) = 2.093032

y₁ = y₀ + h * (f( x₀ ; y₀ ) + f( x₀ + h ; y_1* )) / 2 = 2.1 + 0.1 * ((- 0.069675) + 0.022266)/2 =

= 2.09763

Аналогично найдём остальные значения x и y :

f( x₁ ; y₁ ) = 0.8 + cos (2.09763/ Ö0.3 ) = 0.02757

x₂ = 0.8

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать