Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.2

Задача 2 . Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой .

2.1.

Уравнение нормали: .

y₀ = (4*2-2² )/4=1

y'= 1-2x/4

y₀ '= 1-4/4=0

Уравнение нормали имеет вид:

х=х₀

х=2

2.2.

Уравнение нормали: .

y₀ = 2*4-2*3-1=1

y'= 4х+3

y₀ '= -4*2+3=-5

Уравнение нормали имеет вид:

у-1=1/5(х+2)

у=1/5х+7/5

2.3.

Уравнение нормали: .

y₀ = -1-(-1)³ =0

y'=1-3х²

y₀ '= 1-3*(-1)² =-2

Уравнение нормали имеет вид:

у=1/2(х+1)

у=1/2х+1/2

2.4.

Уравнение нормали: .

y₀ = 4² +8√4-32=0

y'= 2х+4/√х

y₀ '= 2*4+4/√4=10

Уравнение нормали имеет вид:

у=-1/10(х-4)

у=-1/10+2/5

2.5.

Уравнение нормали: .

y₀ = 1+√1³ =2

y'= 1+3х² /2√х³

y₀ '= 1+3/2=5/2

Уравнение нормали имеет вид:

у-2=-2/5(х-1)

у=-2/5х+12/5

2.6.

Уравнение нормали: .

y₀ = ³ √64-20=4-20=-16

y'= 2/(3³ √х)

y₀ '= 2/3³ √(-8)=-1/3

Уравнение нормали имеет вид:

у+16=3(х+8)

у=3х+8

2.7.

Уравнение нормали: .

y₀ = (1+√4)/(1-√4)=-3

y'= ((1/(2√х))*(1-√х)+(1+√х)*1/(2√х))/(1-√х)² =1/(√(х)*(1-√х)² )

y₀ '= 1/(√4*(1-√4))=-1/2

Уравнение нормали имеет вид:

у+3=2(х-4)

у=2х-11

2.8.

Уравнение нормали: .

y₀ = 8⁴ √16-70=-54

y'= 8/(4⁴ √х³ )=2/⁴ √х³

y₀ '= 2/⁴ √16³ =1/4

Уравнение нормали имеет вид:

у+54=-4(х-16)

у=-4х+10

2.9.

Уравнение нормали: .

y₀ = 2-3+1=0

y'= 4х-3

y₀ '= 4-3=1

Уравнение нормали имеет вид:

у=-х+1

2.10.

Уравнение нормали: .

y₀ = (3² -3*3+6)/3² =2/3

y'= ((2х-3)х² -(х² -3х+6)2х)/х⁴ =(2х³ -3х² -2х³ +6х² -12х)/х⁴ =(3х-12)/х³

y₀ '= (3*3-12)/3³ =-1/9

Уравнение нормали имеет вид:

у-2/3=9(х-3)

у=9х-79/3

2.11.

Уравнение нормали: .

y₀ = √64-3³ √64=-4

y'= 1/(2√х)-1/(3³ √х² )

y₀ '= 1/2√64-1/3³ √64² =1/16-1/48=1/24

Уравнение нормали имеет вид:

у+4=-24(х-64)

у=-24х+1532

2.12.

Уравнение нормали: .

y₀ = (2³ +2)/(2³ -2)=5/3

y'= (3х² (х³ -2)-3х² (х³ +2))/(х³ -2)² =(3х² (-4))/(х³ -2)² =(-12х² )/(х³ -2)²

y₀ '= (-12*2² )/(2³ -2)² =-48/36=-4/3

Уравнение нормали имеет вид:

у-5/3=3/4*(х-2)

у=3/4*х+1/6

2.13.

Уравнение касательной: .

y₀ = 2+3=5

y'= 4х

y₀ '= -4

Уравнение касательной имеет вид:

у-5=-4(х+1)

2.14.

Уравнение касательной: .

y₀ = (1+6)/(1+1)=7/2

y'= (29х²⁸ (х⁴ +1)-4х³ (х²⁹ +6))/(х⁴ +1)² =(29х³² +29х²⁸ -4х³² -24х³ )/(х⁴ +1)² =(25х³² +29х²⁸ -24х³ )/(х⁴ +1)²

y₀ '= (25+29-24)/4=15/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-7/2=15/2*(х-1)

у=7,5х-4

2.15.

Уравнение касательной: .

y₀ = 2+1=3

y'= 2-1/х²

y₀ '= 2-1=1

Уравнение касательной имеет вид:

у-3=х-1

у=х+2

2.16.

Уравнение касательной: .

y₀ = -2(1+2)/(3(1+1))=-1

y'= -2/3*(8х⁷ (х⁴ +1)-4х³ (х⁸ +2))/(х⁴ +1)² =-2/3*(4х¹¹ +8х⁷ -8х³ )/(х⁴ +1)²

y₀ '= -2/3*(4+8-8)/(1+1)² =-2/3

Уравнение касательной имеет вид:

у+1=-2/3*(х-1)

у=-2/3*х-1/3

2.17.

Уравнение касательной: .

y₀ = (1+1)/(1+1)=1

y'= (5х⁴ (х⁴ +1)-4х³