Спектры непериодических сигналов
1.
2. Спектры непериодических сигналов
Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t1 t2 . Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1 t2 , далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:
Полученный ряд на участке t1 t2 будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t1 t2 , то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим
где
- спектральная плотность сигнала s(t).
Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.
Если , то - модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.
- фазово-частотная характеристика.
Необходимое условие существования спектральной плотности
Пример. Спектр прямоугольного сигнала
Согласно формуле Эйлера
- площадь под импульсом.
1.1 Свойства преобразования Фурье
а) Сдвиг сигнала во времени s2 (t)=s1 (t-t0 ).
Сдвиг во времени функции s(t) на ±t0 приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt0 . Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.
б) Сжатие и расширение сигнала s2 (t)=s1 (nt) .
При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что где
.
В реальности это проявление принципа неопределенности: При при несреднеквадратичном определении и .
в) Дифференцирование и интегрирование сигнала
Аналогично спектральная плотность интеграла равна
г) Сложение сигналов (линейность преобразования)
- из-за линейности операции интегрирования.
д) Спектр произведения двух функций
Изменяем порядок интегрирования:
Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем ).
Аналогично можно показать, что свертке двух функций соответствует спектр
являющийся произведением исходных спектров.
е) Взаимная обратимость s(t) и .
;
Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для можно поменять знак в экспоненте Тогда, если по функциональной зависимости то
1.2 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Найдем спектр квадрата функции s(t).
- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.
В частном случае ( ) будем иметь:
. Переходя от к и т. к. , комплексное сопряжение .
- равенство Парсеваля.
- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала.
Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:
- при симметричной
Примеры.Спектр Гауссова (колокольного) импульса
, -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606.
.
Произведем преобразование в показателях степени:
где d - определяется из условия:
откуда
.
При d - конечном т. к. .
Тогда т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: .
Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим при среднеквадратичном их определении.
Спектр d-функции
.
В качестве d -функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.
1.3 Свойства d-функции
1) - фильтрующее свойство.
2) Четность
3) Нормировка
Спектральная плотность
.
При t0 = 0, ,
при t0 ¹ 0, .
- это спектральное определение d -функции.
Аналогично - определение d -функции в частотной области.
Спектральная плотность гармонического колебания
Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов. © 2016 - 2022 BigEdu.ru
|