Способы улучшения цифровых сигналов в условиях ограниченного объема априорной информации

Содержание

Основная часть

Выводы

Библиографический список

В современных радиоэлектронных системах в процессе передачи сигнала на него накладываются различные шумы. Процесс приема и перевода сигнала в цифровой вид также сопряжен с внесением в сигнал шумовой составляющей. В большинстве случаев шум является аддитивным. Как правило, при обработке сигнала основной задачей является выделение полезной и ослабление шумовой составляющей. Для решения данной задачи чаще всего используются критерий минимума среднеквадратической погрешности или критерий среднеабсолютного отклонения. В связи с чем актуальной является задача обработки цифрового сигнала одновременно по нескольким критериям [1].

В связи с этим значительный интерес представляет использование многокритериальных методов обработки результатов измерений, представленных единственной реализацией при ограниченном объеме априорной информации о функциях полезной составляющей и шуме.

Цель работы – уменьшение дисперсии шумовой составляющей многокритериальными методами сглаживания входного сигнала, представленного единственной реализацией нестационарного случайного процесса в условиях априорной неопределенности.

Пусть исходные результаты измерений представляют собой дискретную последовательность значений измеряемой физической величины , полученную в равноотстоящие моменты времени где (- константа). Данную выборку результатов измерений можно рассматривать как реализацию случайного процесса , который является аддитивной смесью полезного сигнала и шума. Упрощенная математическая модель входного сигнала представляется в виде:

, , (1)

где – полезная составляющая; – аддитивная шумовая составляющая; – объем выборки.

Функциональная зависимость от времени полезной составляющей неизвестна. Закон распределения аддитивного шума также считается априорно неизвестным. Однако предполагается, что плотность распределения шумовой составляющей имеет нормальный закон, а математическое ожидание равно нулю.

Получение оценки величины можно интерпретировать как уменьшение дисперсии аддитивного шума . Предлагается уменьшать дисперсию измеряемого процесса путем существенного уменьшения суммы квадратов конечных разностей его значений [2]:

(2)

а также (или) уменьшения суммы квадратов конечных разностей второго порядка:

. (3)

При этом в качестве меры расхождения исходного и полезного сигналов используется сумма:

. (4)

Для определения оценок будем стремиться одновременно уменьшить суммы (2 и(или) 3) и (4). Эта цель достигается минимизацией двухкритериальных целевых функций вида [1–3]:

, (5)

, (6)

а также минимизаций трехкритериальной целевой функцией вида:

,(7)

где и – постоянные регулировочные множители. При реализации рассматриваемых методов сглаживания наилучшие результаты на основе использования имитационного моделирования достигаются при значениях в случае использования целевых функций вида (5) и (6) и , в случае использования целевой функции вида (7).

Заметим, что целевые функции (6, 5–7) непрерывны и ограничены снизу на множестве , поэтому, по крайней мере, в одной точке достигает своего наименьшего значения. Докажем единственность такой точки на примере целевой функции вида (5). В силу необходимого условия экстремума ее координаты должны удовлетворять системе уравнений:

, (8)

то есть следующей системе линейных уравнений с неизвестными

:. (9)

Перепишем систему (9) в виде:

. (10)

Докажем, что система уравнений (10) имеет единственное решение. С этой целью методом математической индукции установим справедливость утверждения «первые уравнений системы (10) задают переменные как линейные функции аргумента т.е. , причем , » при каждом (полагаем здесь ). При имеем , , а в случае – , где , , то есть утверждения , верны. В предположении верности утверждения при некотором докажем справедливость утверждения . Из -го уравнения системы (10) получаем

где ; .

Итак, утверждения выполнены. С помощью утверждения последнее уравнение системы (10) приводится к виду где , . Полученное уравнение имеет единственное решение , по которому однозначно определяются значения , где .

Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение; аналогично доказательство единственности решения для целевых функций вида (6) и (7).

Для нахождения точки наименьшего значения целевых функций (5), (6) и (7) применим метод наискорейшего спуска [4]. Зададим точность , с которой будут найдены значения . В качестве начальной итерации примем , . При каждом зададим величину , присвоив ей значение левой части k-го уравнения систем (10).

Для целевой функции (6), получим:

(11)

Целевая функция (7) сводится к решению системы:

(12)

Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину:

. (13)

Для целевой функции вида (6) – величину:

. (14)

Для целевой функции вида (7) – величину:

. (15)

Если , то в точке функция достигает наименьшего значения. Заметим, что и что тогда и только тогда, когда . В случае функция является квадратичной функцией с положительной второй производной. Решив уравнение , найдем точку минимума

– для целевой функции вида (5):

, (16)

– для целевой функции вида (6):

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать