Диференціал 5

Диференціал

План

Диференціал функції.

Геометричний зміст диференціала.

Лінеаризація функції.

Диференціал складної функції.

Повний диференціал функції декількох змінних.

Достатні умови диференційованості функції.

Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.

Інваріантність форми диференціала.

Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції

1.1 Означення диференційованої функції

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.48)

де - число, а прямує до нуля, коли приріст прямує до нуля.

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.49) де

- числа; і - нескінченно малі при (при ).

Теорема. Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній:

(6.50)

Наслідок. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає .

Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.

Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.

Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція диференційована в цій точці.

Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал

Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток при є величина вищого порядку малості, ніж ,

тоді як перший доданок , якщо і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при і є величина вищого порядку малості, ніж перший,

Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці і позначається символом або ,

, . (6.51)

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

,

або

(6.52)

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

Властивості диференціала. Якщо і - диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:

1) (),

2) ,

) ,

4) .

Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції має вигляд, зображений на рис. 6.6 (крива ).

Візьмемо на кривій точки і . У точці проведемо дотичну до кривої . Тоді з трикутника знайдемо довжину відрізка :

або

. (6.53)

Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.

Рис.6.6

Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом

де - диференційована функція при деякому значенні часу . Тоді функція має диференціал

,або .

Добуток виражає шлях, який точка проходить за час , рухаючись із сталою швидкістю .

Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .

6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних

Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .

Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку

. Для приросту

одержуємо такий вираз:

(6.54)

При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .

Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :

. (6.55)

(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в ’ я з о к.

В будь-який точці .

Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.

Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина пов

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать