Подвійний інтеграл його властивості

Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

П лан

• Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла
• Означення подвійного інтеграла
• Теорема існування
• Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі .

Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області .

Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:

(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .

Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).

Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує при :

Рис.11.1

. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так:

.

Отже, об’єм циліндричного тіла

. (11.3)

Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо на частин об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

(11.4)

Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом ¹⁾ ), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

Отже,

(11.5)

До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана ¹⁾ ми визначали для дуже простої множини – відрізку який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

Поняття про міру Жордана ¹⁾ . В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо прямокутник з основою і висотою то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини і то

Існують множини двохвимірної міри, що дорів

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать