Функціональний ряд область його збіжності Cтепеневі ряди Теорема Абеля Інтервал і радіус збі

Пошукова робота на тему:

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a)

П лан

• Функціональний ряд.
• Область збіжності
• Рівномірна збіжність
• Степеневі ряди
• Теорема Абеля
• Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду
• Ряди за степенями

1 . Функціональні ряди

1 .1. Функціональні ряди. Область збіжності

Ряд

(13.22)

називається функціональним, якщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними.

Означення. Сукупність тих значень при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через

Через позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму перших його членів

(13.23)

Тоді

, (13.24)

де

і називається залишком ряду. Для всіх значень в області збіжності ряду має місце співвідношення а тому

(13.25)

тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при

Приклад. Знайти область збіжності ряду .

Р о з в ‘ я з о к. Для знаходження області збіжності даного функціонального ряду використаємо радикальну ознаку Коші

. Ряд збігається при тих

значеннях при яких ця границя менша за одиницю, тобто

Дослідимо збіжність ряду на кінцях проміжку, тобто при і .

При : ряд розбігається.

При : ряд розбігається.

Областю збіжності даного ряду є проміжок

1 .2. Рівномірна збіжність

Означення. Функціональний ряд (13.22), збіжний для всіх із області , називається рівномірно збіжним в цій області, якщо для довільного як завгодно малого числа існує такий незалежний від номер що при нерівність

або (13.26)

виконується одночасно для всіх із

Приклад 1. Розглянемо прогресію

вона збігається в відкритому проміжку Для довільного із залишок ряду має вигляд:

Якщо довільно зафіксувати, то, очевидно:

Це показує, що здійснити для всіх одночасно нерівність

(якщо )

при одному й тому ж номері неможливо. Отже, збіжність прогресії

в проміжку нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків і зокрема.

Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22).

Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області необхідно і достатньо, щоби для кожного числа існував такий не залежний від номер що при і довільному нерівність

(13.27)

буде мати місце для всіх із одночасно.

Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса.

Ознака Вейєрштрасса. Якщо члени функціонального ряду (13.22) задовольняють в області нерівностям

(13.28)

і числовий ряд

(13.29)

збігається, то ряд (13.22) збігається в рівномірно.

При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22) мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служить мажорантним рядом для (13.22).

Приклад 2. Розглянемо ряд

Р о з в ‘ я з о к. Оскільки нерівності виконуються на всій числовій осі, а числовий ряд збігається, то даний функціональний ряд рівномірно збігається на

1.3. Функціональні властивості суми ряду

Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх.

Cума скінченого числа неперервних на відрізку функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.

Теорема 1 (про неперервність суми ряду). Якщо функції визначені та неперервні в проміжку і ряд (13.22) рівномірно збігається в до суми , то й ця сума буде неперервною в проміжку

Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд

на відрізку має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно.

Теорема 2 (про почленний перехід до границі). Нехай кожна з функцій визначена в області і має скінченну границю при :

(13.30)

Якщо ряд (13.22) в області збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:

(13.31)

і сума ряду (13.22) також має при границю, а саме:

(13.32)

Рівність (13.32) можна записати в такому вигляді:

(13.33)

Таким чином, при наявності рівномірної збіжності функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із границь його членів, аб

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать