Розклад функцій в степеневий ряд Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора Застосування степеневих

Пошукова робота на тему:

Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення .

П лан

• Ряди Тейлора і Маклорена
• Достатні умови розкладу в ряд Тейлора
• Приклади розкладу функцій в ряди
• Біноміальний ряд
• Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів
• Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

13.11. Ряди Тейлора і Маклорена

Для функції що має всі похідні до го порядку включно, в околі деякої точки справедлива формула Тейлора:

(13.51)

де залишковий член у формі Лагранжа обчислюється за формулою

Якщо функція має похідні всіх порядків в околі точки то у формулі Тейлора число можна брати як завгодно великим. Припустимо, що в околі точки залишковий член прямує до нуля при :

Тоді, перейшовши у формулі (13.51) до границі при одержимо безмежний ряд, який називається рядом Тейлора:

(13.52)

Остання рівність справедлива лише в тому випадку, коли Тоді написаний справа ряд (13.52) збігається і його сума дорівнює даній функції

Дійсно, де

Але є а частинна сума ряду (13.52), її границя дорівнює сумі ряду, що стоїть в правій частині рівності (13.52). Отже, рівність (13.52) справедлива.

Із попереднього випливає, що ряд Тейлора представляє деяку функцію тільки тоді, коли Якщо то ряд не представляє даної функції, хоча й може збігатися (до іншої функції).

Якщо в ряді Тейлора покласти то одержимо частинний випадок ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена:

(13.53)

Для кожної із елементарних функцій існують такі і , що в інтервалі вона розкладається в ряд Тейлора (Маклорена).

13.12. Приклади розкладу функцій в ряди

1. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має вигляд

де

Доведемо, що при довільному фіксованому . Дійсно,

Якщо фіксоване число, то знайдеться таке ціле додатне число що

Введемо позначення де ; тоді можемо написати при і т.д.

тому що

Але величина постійна, тобто не залежить від , а прямує до нуля при Тому

Оскільки то при всіх

значеннях Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

(13.54)

Залишковий член прямує до нуля при довільному , а тому даний ряд збігається і в якості суми має функцію при довільному

2. Розклад в ряд Маклорена функції

Аналогічно, виходячи із формули Маклорена для функції одержимо ряд

(13.55)

який збігається при всіх значеннях і представляє функцію

3. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має такий вигляд:

Оскільки то величина при фіксованому обмежена ( при і при ), а, значить

при довільному

Отже, ряд Маклорена для функції має такий вигляд:

(13.56)

який для всіх значень збігається і представляє функцію

Замінивши в розкладі (13.565) на , одержимо ряд

(13.57)

Цими рядами користуються для наближених обчислень значень функцій.

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Підставляючи в ряд (13.57) замість одержимо

Це знакочергуючий ряд. Оскільки , то з точністю до маємо

13.13. Біноміальний ряд

1. Розклад в ряд функції Розкладемо в ряд функцію де довільне ціле число.

Замітимо, що функція задовольняє диференціальному рівнянню

з початковою умовою

Знайдемо такий степеневий ряд, сума якого задовольняє даному рівнянню з початковою умовою :

.

Підставляючи його в диференціальне рівняння, одержимо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях знаходимо:

.

Звідси одержимо коефіцієнти ряду

………………………………………..

………………………………………….. .

Ці коефіцієнти називаються біноміальними.

Підставляючи їх в ряд, одержимо

.

Якщо ціле додатне число, то, починаючи з члена, що містить всі коефіцієнти дорівнюють нулю і ряд перетворюється в многочлен (біном Ньютона). При дробовому або цілому від’ємному одержимо безмежний ряд. Визначимо його радіус збіжності:

Таким чином, ряд збігається при

В інтервалі даний ряд представляє функцію , що задовольняє даному диференціальному рівнянню з початковою умовою Оскільки дане диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв’язок, то сума ряду тотожньо дорівнює функції , і ми маємо розклад функції в ряд:

(13.58)

Ряд (13.58) називається біноміальним рядом.

Зокрема, при одержимо:

(13.59)

При будемо мати:

(13.60)

Біноміальний ряд (13.60) можна використовувати для наближених обчислень значень функцій із заданою точністю.

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Представимо підкореневе число так і тоді

Підставивши в ряд (13.60) замість а одержимо:

.

<

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать