Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.15

Задача 15 . Найти производную .

15.1.

x'= 6t*t³ -3t² (3t² +1) = -t² -1

3t⁶ t⁴

y'= cos(t³ /3+t)(t² +1)

y'_x = cos(t³ /3+t)(t² +1)t⁴ = -t⁴ cos(t³ /3+t)

-t² -1

15.2.

x'= -t _

√(1-t2)

y'= 1 _

2√(1+t)cos² √(1+t)

y'_x = -√(1-t² ) = -√(1-t² ) _

2t√(1+t)cos² √(1+t) 2tcos² √(1+t)

15.3.

x'= 1-t _

√(2t-t² )

y'= 2 _

3 ³ √(1-t)⁵

y'_x = 2√(2t-t² ) = 2√(2t-t² ) _

3 ³ √(1-t)⁵ (1-t) 3 ³ √(1-t)² (1-t)²

15.4.

x'= cost = 1

√(1-sin² t)

y'= sint = 1

√(1-cos² t)

y'_x = 1

15.5.

x'= 1+t/√(t² +1) = 1 _

t+√(t² +1) √(t² +1)

y'= √(t² +1)+ t² = 2t² +1_

√(t² +1) √(t² +1)

y'_x = (2t² +1)√(t² +1) = 2t² +1

√(t² +1)

15.6.

x'= 1-t _

√(2t-t² )

y'= 1 = 1 _

√(1-(t-1)² ) √(2t-t² )

y'_x = √(2t-t² ) = 1_

√(t2-t² )(1-t) 1-t

15.7.

x'= -2e^t _ = -2e^t _

sin² (2e^t ) 4sin² e^t cos² e^t

y'= e^t = e^t _

tge^t cos² e^t sine^t cose^t

y'_x = 4e^t sin² e^t cos² e^t = -2sine^t cose^t

-2e^t sine^t cose^t

15.8.

x'= -1 = -1 _

ctgt sin² t sint cost

y'= 2sint

cos³ t

y'_x = -cos³ t = -1/2*ctg² t

2sin² tcost

15.9.

x'= e^t/2 _

2(1+e^t )

y'= e^t _

2√(1+e^t )

y'_x = 2e^t (1+e^t ) = √(e^t +e^2t )

2e^t/2 √(e^t +1)

15.10.

x'= √(1+t) *√(1+t) *-1-t-1+t = -1_

√(1-t) 2√(1-t) (1+t)² 1-t²

y'= -t _

√(1-t² )

y'_x = t(1-t² ) = t√(1-t² )

√(1-t² )

15.11.

x'= 2t3_

1-t4

y'= (1+t² )(-2t(1+t² )-2t(1-t² )) = -2

√(1+2t² +t⁴ -1+2t² -t⁴ )(1+t² )

y'_x = -2(1-t⁴ ) = t⁴ -1

2t³ t³

15.12.

x'= -t _

√(1-t² )

y'= √(1-t² )+t² /√(1-t² ) = 1 _

1-t² (1-t² )^3/2

y'_x = -√(1-t² )_ = 1_

t(1-t² )^3/2 t³ -t

15.13.

x'= -t = -1 _

√(1-1+t² )√(1-t² ) √(1-t² )

y'= -2arccost

√(1-t² )

y'_x = 2arccost√(1-t² ) = 2arccost

√(1-t² )

15.14.

x'= √(1-t² )+t² /√(1-t² ) = 1 _

1-t² (1-t² )^3/2

y'= t *-t² /√(1-t² )-1-√(1-t² ) = -1

1+√(1-t² ) t² t

y'_x = √(1-t² )

t²

15.15.

x'= -4(1+cos² t)costsint

y'= -sin³ t-2cos² tsint = -1-cos² t

sin⁴