Границя функції

Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

1. Границя числової послідовності.

2. Нескінченно малі числові послідовності.

3. Нескінченно великі числові послідовності.

4. Основні теореми про границі.

5. Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У кур­сі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарни­ми способами. В основі методів, за допомогою яких уда­ється дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функ­ціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають y_n = f ( n ), п = 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y₁ , ₂ , ..., у_л ,…, вякому y ₁ називають першим чле­ном послідовності, y ₂ — другим іт. д., y_n — n -м, або за­гальним членом послідовності. Числову послідовність вва­жають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (у_п ) або (а_п ), де у_п , а_п — n -ні члени послідов­ностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: у_п = y ₁ + d (п - 1), у_п = у ₁ q^{n -1} , п = 1, 2, ..., де d — різниця арифметичної прогресії; q — зна­менник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою у_п =, п = 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спа­дають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n , тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |у_п — 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) зна­йдеться член y_N такий, що для всіх п > N буде справ­джуватися нерівність

(3)

де — довільне додатне число. Надаючи є довільних додат­них значень, щоразу матимемо шукане число N.

Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додат­ного числа , підставимо в нерівність (3) значення у_п і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:

(4)

Звідси п > . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п , які задовольняють нерівність (4).

Тому за число N можна взяти число , якщо воно ціле, абонайбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таб­лиці.

Таблиця

N

2

3

4

5

10

31

100

Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у₁ , y ₂ , y ₃ , …, у_п , ..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N (), що для всіх п > N виконується нерівність

. (8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim— від латинського слова « limes », що означає «границя»).

2. Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовнос­тям.

Послідовність у_п = f (п), п — 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо у_п = 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо не­рівність | у_п | < , п > N. Тому нескінченно малу число­ву послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (у_п ) називається нескінченно ма­лою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | у_п | < .

Нескінченно малі послідовності позначають через (а_п ), (β _п ), (_n ) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать