Основні правила диференціювання Таблиця похідних

Пошукова робота

на тему:

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.

П лан

• Основні правила диференціювання.
• Похідні від елементарних функцій.
• Похідна від степеневої функції.
• Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
• Похідні від тригонометричних функцій.
• Похідні від обернених тригонометричних функцій.
• Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

1⁰ . Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .

Отже, якщо , то

. (6.14)

1. Похідна від сталої функції .

Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .

Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо

.

Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто

. (6.15) 3. Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення

.

Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то

, .

Тому

Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює .

Теорему доведено.

Наслідок . Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто

(6.17)

4. Похідна від добутку.

Теорема . Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну:

. (6.18)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі . За умови теореми

а

Отже,

Теорему доведено.

Наслідок . Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо , то

(6.19)

5. Похідна від частки.

Теорема . Якщо функції в точці мають похідні і , то функція також у точці має похідну і похідна дорівнює

(6.20)

Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функції матимуть відповідно прирости , а функція - приріст

Знайдемо відношення

За умовою теореми

а , тому

Теорему доведено.

Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то

(6.21)

Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то

(6.22)

6. Похідна від оберненої функції.

Теорема. Нехай функція задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має також похідну: .

Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функція дістане приріст , причому, внаслідок монотонності функції , матимемо , якщо . Тоді відношення можна записати так: Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок неперервності оберненої функції , тобто

Отже, від функції в точці існує похідна:

(6.23)

Теорему доведено.

Якщо функція має похідну в довільній точці і

, то формула (6.23) справджується для цих точок

або, що те саме,

(6.24)

У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують

(6.25)

Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.

Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:

(6.26)

2. Похідні від елементарних функцій

Похідна від степеневої функції

Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :

Розкриємо за формулою бінома Ньютона:

Знайдемо відношення

Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо

Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює

Випадок довільного показника . Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від .

Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює

Знайдемо відношення

або

(6.28)

де .

Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й . Тому