Канонічні рівняння кривих другого порядку

Пошукова робота

на тему:

Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола).

План

• Канонічні рівняння кривих другого порядку
• Еліпс.
• Гіпербола.
• Парабола.
• Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярних координатах.

1. Криві другого порядку на площині

Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.

Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням

, (3.36)

де - деякі коефіцієнти.

Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.

З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).

Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

Рис.3.16

3.6.1. Еліпс

Нехай у рівнянні (3.40) дорівнюють нулю, коефіцієнти і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд ,

.

Оскільки і , то можна покласти , . Тоді рівняння набере вигляду

. (3.37)

Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні на і на рівняння не змінюється, тому крива (3.37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .

При матимемо , а при . Виразимо з (3.37)

Виразимо з (3.37) через . Тоді для першої чверті матимемо

. (3.38)

Очевидно, що , тобто .

Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої (3.37), що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс (3.37) розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .

Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.

Розглянемо на осі дві точки і , а на кривій довільну точку . Нехай сума дорівнює деякому числу , тобто

Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо

.

Щоб ця рівність збігалася з (3.41), треба прийняти і

. Отже, . Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і ,

що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.

З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює .

З формули (3.38) очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до

Оскільки друга похідна функції (3.42) по від’ємна то у першій чверті крива опукла.

Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).

Рис.3.17

Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.

Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кіль

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать