Розв язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

Коломийський коледж комп’ютерних наук

Кафедра комп ’ютерних

дисциплін

Реферат з дисципліни

Алгоритми мови та програмування

Розв ’язання систем

лінійних

рівнянь методом Гауса

Виконав:

Студент групи 1-кн-2

Григорчук Володимир

Прийняв:

Яремчук Богдан Ярославович

Коломия 1999

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

а) Зведення системи лнийних рівнянь до ступінчастого вигляду.

Перейдемо до вивчення питания (про розв'язування систем ліній рівнянь. Нехай дано довільну систему т лінійних рівнянь з п невадомими.

a ₁₁ x ₁ +a ₁₂ x ₂ + ……+ a _1n x _n = b ₁ ,

a ₂₁ x ₁ +a ₂₂ x ₂ + ……+ a _2n x _n = b ₂ ,

………………………………..

a _m1 x ₁ +a _m2 x ₂ + …..+ a _mn x _n = b _m ,

У цій системі, принаймні, один з коефіцієнтів a _{i 1} (i = 1,2,...,m) відмінний від нуля, бо в противному paзi система (1) не була б системою з п невідомими. Якщо a ₁₁ = 0, а, наприклад, a _{s 1} ¹ 0, то переставив­ши перше is -те рівняння, дістанемо систему, еквівалентну системі (1). У першому piвнянні цієї системи коефіцієнт при невідомому x ₁ буде відмінний від нуля. Тому вважатимемо, що в системі (1) а¹¹ ¹ 0.

Випишемо розширену матрицю системи (1), відокремивши для зруч-ності вертикальною рискою стовпець вільних членів:

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

………………….

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо матрицю (2) до ступінчатого вигляду. Дістанемо деяку ступінчасту матрицю.

Ā' = (a^' _ik |b^' _i ) розміру mx (n + 1). Позначимо символом S ( Ā ') систему лінійних рівнянь, розширеною матрицею якої е ступінчаста матриця

Ā' = (a^' _ik |b^' _i ).

Систему лінійних рівнянь, розширена матриця якої ступінчаста, також називають ступінчастою . Про ступінчасту систему говорять, що вона має ступінчастий вигляд. За теоремою 1.2 ступінчаста система S ( Ā ') еквівалентна системі(1).

Перетворення системи лінійних рівнянь в еквівалентну їй ступін­часту систему називають зведенням системи лінійних рівнянь до сту­пінчастого вигляду.

Отже, описаним вище способом кожну систему лінійних рівнянь можна звести до ступінчастого вигляду. Всюди далі, говорячи про перетворення системи лінійних рівнянь у ступінчасту систему, ми розумітимемо під цим перетворення лінійної системи в е к в і в а л е н т -

н у їй ступінчасту систему.

б) Розв'язування системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь (1) еквівалентна ступінчастій системі S ( Ā '). Тому розв'я­зування системи (1) зводиться до розв'язування системи S ( Ā '). При цьому можливі такі два випадки:

1. У розширеній матриці Ā ' = (a^' _i |b^' _i ) системи S ( Ā ') є рядок, в якому першим відмінним від нуля елементом є його .останній елемент.

2. У матриці Ā ' такого рядка немає. У першому випадку в системі S ( Ā ') міститься рівняння вигляду 0 •x ₁ + 0 •x ₂ + … + 0 •х _n = b , b ¹ 0 (скорочено його записують 0 = b ). Оскільки жодна система чисел (l 1, l 2, …, ln ) не може задовольняти рівняння 0 = b ( b ¹ 0), то система рівнянь S ( Ā ') несумісна.

Розглянемо другий випадок. Нехай ступінчаста матриця S ( Ā ') містить r ненульових рядків і перші ненульові елементи цих рядків знаходяться в стовпцях з номерами k ₁ = 1, k ₂ , k ₃ , …, k_r . З означення ступінчастої матриці випливає, що 1 = k ₁ <k ₂ < … <k_r <n .

Всі рівняння системи S ( Ā ') , які мають вигляд 0 •x₁ + 0 •x₂ + ... + 0 •х