Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями Пряма на

Пошукова робота

на тему:

Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина.

План

• Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями.
• Рівняння прямої на площині.
• Площина.
• Пряма в просторі.
• Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності. Кут між площинами, умови паралельності та перпендикулярності.
• Віддаль від точки до прямої на площині та від точки до площини.
• Пряма та площина.

Пряма на площині

1. Рівняння прямої на площині

Рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки на площині, - це рівняння

(3.3)

при умові

В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .

Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.

Нехай точка лежить на прямій ( ). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)

Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку

(3.4)

Якщо довільна точка на прямій, то вектор повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що і, наприклад,

Нехай задана пряма Позначимо через радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець ( точка ) також лежить на прямій. В цьому

Рис.3.7

випадку для точки знайдеться таке число (параметр), що

(3.5)

Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.

Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині

(3.6)

Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр одержимо канонічне рівняння прямої (3.7)

Із рівняння (3.17) одержимо

Позначимо . Тоді одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку

(3.8)

Очевидно, що де кут, що утворює пряма (вектор ) з

додатнім напрямом осі Величину називають кутовим коефіцієнтом прямої

Позначивши через із рівняння (3.8) одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

(3.9)

Нехай дві точки і лежать на прямій Тоді за напрямний вектор можна взяти вектор, що з’єднує ці дві точки Підставивши в рівняння (3.7)

Замість і координати вектора одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки

(3.10)

Нехай задані точки перетину прямої з осями координат і Використавши рівняння (3.10), одержимо

або

(3.11)

Рівняння (3.11) називається рівнянням прямої у відрізках.

Пучком прямих на площині називається сукупність прямих, що проходять через фіксовану точку – пучка. Будемо вважати, що дві прямі і перетинаються

( ) в точці Рівняння

(3.12)

де називається рівнянням пучка прямих на площині.

2. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Нехай дві прямі і задані рівняннями

і . Позначимо через

і кути, які утворюють прямі і з додатнім напрямком осі (рис.3.8), а це кут між цими прямими.

Рис.3.8

Тоді а Оскільки, то

або (3.13)

Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні

Якщо прямі перпендикулярні, то , а тому

Можна обчислювати кут між двома прямими як кут між їх нормальними векторами і

(3.14)

3. Віддаль від точки до прямої

Нехай пряма задана рівнянням і точка

радіус-вектор якої Точка радіус-вектор якої направляючий вектор прямої Тоді

віддаль від точки до прямої можна розглядати як висоту паралелограма, побудованого на векторах і (рис.3.9).

Рис.3.9

Знайдемо площу паралелограма

= Але точка тому

Тоді одержимо:

(3.15)

Рівняння

(3.16)

називається нормальним рівнянням прямої на площині.

Приклад 1 . Дві сторони паралелограма задані рівняннями і Діагоналі його перетинаються в початку координат. Написати рівняння двох інших сторін паралелограма та його діагоналей.

Р о з в ‘ я з о к. Знайдемо координати точки перетину сторін

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать