Квадратичні форми їх приведення до діагонального вигляду Приведення рівняння кривої другого п

Пошукова робота на тему:

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.

П лан

• Квадратична форма, її канонічний вигляд.
• Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
• Зведення загального рівняння лінії (поверхні) до канонічного вигляду.
• Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки.
• Лінійна модель торгівлі.

Квадратичні форми і зведення їх до канонічного вигляду

Квадратична форма, її канонічний вигляд

Квадратичною формою називається однорідний многочлен другого степеня відносно змінних Квадратична форма має вигляд

(4.20)

причому - дійсні коефіцієнти.

Наприклад, квадратична форма двох змінних і має такий вигляд:

оскільки

Якщо через позначити матрицю а через матрицю-стовпчик то рівність (4.20) можна записати в матричній формі

(4.20^/ )

де

Через те, що в матриці , матриця є симетричною. Читачеві рекомендується перевірити формулу (4.20) звівши її до вигляду (4.19), користуючись явними записами матриць .

Симетрична матриця називається матрицею квадратичної форми. Якщо матриця має діагональний вигляд, то такий вигляд квадратичної форми називається канонічним виглядом.

Нехай тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:

(4.21)

Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).

Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.

Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм ). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.

4.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

У формулі (4.20^/ ) виконаємо заміну , де , де

Матриця, обернена до якої співпадає з транспонованою, називається ортогональною.

Із заміни маємо ( при транспонуванні добутку матриць змінюється порядок перемноження матриць). Підставивши в (4.22) замість їх вирази, одержимо

де .

Отже, , де .

Теорема. Якщо матриця симетрична, то симетричною є і матриця .

Д о в е д е н н я. . Згідно з означенням симетричної матриці теж симетрична, що і треба було довести.

З теореми і заміни випливає, що є матрицею квадратичної форми, після заміни змінної. Оскільки - ортогональна матриця, тобто , то . Матрицю можна підібрати так (див.п.4.3.4, властивість 6⁰ ), щоб

(4.22)

Числа є власними значеннями матриці .

Якщо рівняння (4.19) має всі різні корені, то розв’язавши систему рівнянь (4.18) для кожного , одержимо взаємно ортогональних власних векторів:

Оскільки матриця - ортогональна, то , тобто

(4.23)

Зауваження. Після знаходження власних значень матриці із (4.19) і розв’язання системи рівнянь (4.18) одержимо власні вектори , які взагалі кажучи, не будуть одиничними. В такому разі з них можна одержати одиничні, поділивши кожний з них на його довжину Після такої операції уже будуть виконуватись умови (4.23). У нових змінних задана квадратична форма набуває вигляду

_.

Приклад 1 . Звести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти перетворення, з допомогою якого здійснюється це зведення .

Р о з в ’я з о к. Матриця квадратичної форми така:

Характеристичне рівняння має вигляд (всі власні значення різні).

Тому .

Тепер знайдемо елементи матриці :

для маємо , тобто ;

для ;

для ,

тобто .

Перетворення координат:

;

;

.

Припустимо, що деякий корінь рівняння (4.19) є -кратним. Підставивши в систему (4.18) замість корінь , одержимо одномірну систему, що має лінійно незалежних розв’язків. Це означає, що система (4.18) зведеться до рівнянь. Знайдемо який-небудь ненульовий розв’язок цієї системи і запишемо відповідний йому вектор .Вважатимемо його зведеним до одиничного. Якщо він спочатку був неодиничним, то діленням його на одержимо одиничний вектор. Щоб знайти наступний вектор, додамо до рівнянь системи (4.18) ще одне рівняння, що виражає ортогональність нового шуканого вектора до вже знайденого . Тоді одержимо систему з рівнянь. Знайшовши її розв’язок, перейдемо до знаходження третього вектора, що відповідає власному значенню . Для цього додамо до основних рівнянь системи ще два рівняння, що виражають ортогональність нового вектора до знайдених двох, і так далі - поки не побудуємо всю сукупність одиничних взаємно ортогональних векторів, що відповідають кореню рівняння (4.19) кратності . У частинному випадку, коли і рівняння (4.19) має двократний корінь , то, знайшовши з (4.18) один вектор , другий знайдемо з умови . У ви

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать