Основні задачі математичної фізики

Тема: Основні задачі математичної фізики.

Лекція №1

План

1. Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.

2. Приклади постановок таких задач.

3. Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.

4. Рівняння коливань струни.

5. Розв ’ язок задачі Коші методом Даламбера

Питання для самоконтролю.

Лекція №1.

1. В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?

2. Від чого залежить розв ’ язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?

3. Приклади рівнянь еліптичного типу.

4. Як називається і до якого типу належить рівняння:

?

5. В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?

6. Записати формулу Даламбера, яка дає розв ’ язок одномірного однорідного хвильового рівняння.

Література:

1. А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.

2. Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.

3. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальн ые главы ”, Киев, 1981.

4. О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

5. П.Е.Данко, А.Г.Попов “ Высшая математика в упражнениях и задачах ”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №1.

Тема: Основні задачі математичної фізики.

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших наукахприводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:

де а_ij , b_i , c – задані функції змінних х₁ , х₂ , …, х₃ (n ³2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| a_lk || - lE)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:

d₁₁ dy² -2a₁₂ dxdy+a₂₂ dx² =0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так

Якщо а₁₂ -а₁₁ а₂₂ >0, то інтеграли характеристичного рівняння j(х,у)=С₁ і y(х,у)=С₂ дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:

До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння DU=0 (Лапласа); DU=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: DU+kU=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:

Тема: Рівняння коливань струни.

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхили

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать