Елементи логіки

Пошукова робота

на тему:

Елементи логіки

1. Висловлення та формули

Одним з основних понять логіки є висловлення – розповідне речення, про яке можна стверджувати, що воно є або істинним, або хибним.

Звичайно, в мові існують речення, про які не можна сказати, істинні вони чи хибні. Наприклад, речення "Це речення є хибним". Якщо припустити, що воно є істинним, то з нього випливає його хибність, а якщо воно є хибним, то маємо, що воно істинне. Отже, це речення не можна розглядати як висловлення. Насправді воно є варіантом відомого парадокса брехуна : неможливо сказати, чи є істинною або хибною фраза брехуна "Я брешу".

Проте наявність таких парадоксальних речень не заважатиме нам далі, оскільки математичні знання формулюються саме висловленнями.

Хибність чи істинність висловлень може змінюватися, наприклад, у часі ("Зараз ніч"), у просторі ("Ми летимо над Африкою") тощо. Будемо дивитися на висловлення як на змінну, що може мати одне з двох значень – "хибність" або "істина", позначені 0 і 1 відповідно. Ці значення вважаються протилежними одне до одного.

Означення. Змінна з можливими значеннями "хибність" або "істина" називається пропозиційною .

Будемо позначати пропозиційні змінні великими літерами A , B , C , …, можливо, з індексами. Ці літери також називаються пропозиційними .

З висловлень можна одержувати інші висловлення, пов'язуючи їх сполучниками "та", "або", "якщо …, то …" та іншими. Ці сполучники позначаються спеціальними знаками й називаються пропозиційними зв'язками . Означимо їх.

Означення. Висловлення вигляду "Не A " записується ØA й називається запереченням висловлення A . Його значення є протилежним до значення A .

Означення. Висловлення вигляду "A та B " записується як A &B або A ÙB або A ×B і називається кон'юнкцією висловлень A і B , або їх логічним добутком . Висловлення A і B називаються співмножниками кон'юнкції. Вона істинна, коли кожний із співмножників істинний. Якщо ж хоча б один із них хибний, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "A або B " записується як A ÚB і називається диз'юнкцією висловлень A і B , або логічною сумою (доданків диз'юнкції). Вона істинна, коли хоча б один із доданків істинний (можливо, і обидва). Якщо ж обидва доданки хибні, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "Якщо A , то B " записується як A ®B і називається імплікацією з засновком A і висновком B . Імплікація хибна, коли засновок істинний, а висновок хибний. В усіх інших випадках вона істинна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=4, то Сонце обертається навколо Землі" за цим означенням є хибним, а висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" – істинним. Імплікацію часто позначають знаком "Þ": A ÞB .

Зауважимо, що запис A ®B читається також, як "B є необхідною умовою для A ", або як "A є достатньою умовою для B ", або як "З A випливає B ", або як "A тільки тоді , коли B ", або як "B тоді, коли A ".

Імплікація "З не B випливає не A ", що позначається (ØB )®(ØA ), називається висловленням, протилежним до висловлення A ®B . Імплікація "З B випливає A ", що позначається B ®A , називається висловленням, оберненим до висловлення A ®B .

Означення. Висловлення вигляду "A тоді й тільки тоді, коли B " записується як A «B і називається еквівалентністю висловлень A і B . Вона істинна, коли значення висловлень A і B збігаються. Якщо ж вони різні, то еквівалентність хибна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" є істинним. Еквівалентність часто позначають не знаком "«", а знаком "Û".

Зауважимо, що запис A «B читається також як "B є необхідною і достатньою умовою для A ", а також як "Якщо A , то B , і якщо B , то A ". Заперечення еквівалентності Ø(A «B ) читається як "Або A , або B ". Складений сполучник "або …, або …" інколи називається "виключне або ". Підкреслимо, що диз'юнкція A ÚB відрізняється від заперечення еквівалентності Ø(A «B ).

Означення. <

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать