Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації експериментальних даних

МАРІУПОЛЬСЬКИЙ МІСЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ ЛІЦЕЙ

НАУКОВО-ПРАКТИЧНА РОБОТА

на тему:„Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації

експериментальних даних”

Виконав: учень 312 групи

Аніщенко Євген

Керівник:Ткаченко С.Г.

Маріуполь,

2003 р.

ПЛАН

Стор.

Вступ

В практичній діяльності людини часто виникають такі задачі, коли маючи обмежену кількість експериментальних даних, треба спрогнозувати, які наслідки слід очікувати при інших умовах експерименту над тим же об'єктом. В математиці для цієї мети широко використовують рівняння різного вигляду, які з той чи іншою похибкою моделюють поведінку об'єкта. Підбір таких рівнянь називають апроксимацією експериментальних даних. Зокрема, апроксимація усередині області одержання експериментальних даних називається інтерполяцією, а за межами цієї області – екстраполяцією.

У більшості випадків підбір підходящих рівнянь ускладнюється тим, що експериментальні дані отримані приблизно і вміщують похибку експерименту та обчислювань. Очевидно, що і рівняння, яке вибрали, не завжди забезпечує точну збіжність розрахункових даних з експериментом. Таке рівняння підбирають різними методами, серед яких найбільш популярний метод найменших квадратів (МНК). Цей метод буде розглянутий автором у наступній науково-практичній роботі.

В наданій роботі поставлено мету навчитися визначати вигляд апроксимуючих рівнянь (функцій) у випадках, коли крива або поверхня проходить скрізь усі експериментальні точки., тобто немає потреби визначати найменшу величину квадрата різниці розрахункових і експериментальних значень, як цього потребує МНК. При цьому були вирішені наступні задачі:

- вивчені методи рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

- досліджена методика апроксимації експериментальних даних функціями кількох змінних, яка включає приведення функцій до лінійного вигляду, складання і рішення систем лінійних рівнянь для визначення числових значень коефіцієнтів, що невідомі і входять у вибрану апроксимуючу функцію.

1. Системи лінійних рівнянь і методи їх рішення

1.1. Системи лінійних рівнянь

В наданій роботі об'єктом вивчення являються системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівняння називається алгебричним , якщо кожна з його часток є багаточленом або одночленом по відношенню до невідомих величин. Лінійним рівнянням називають рівняння першого ступню. Степенем рівняння називають найбільший з показників при невідомому. Якщо рівняння вміщує кілька невідомих, то для кожного члена рівняння складаємо суму показників при всіх невідомих, що входять до нього. Найбільша з цих сум і називається ступнем рівняння.

Хай дана система лінійних рівнянь

Тутx₁ , x₂ , ... , x_n – невідомівеличини, a_ij (i = 1,2, ... , m; j =1, 2, ... , n) – числа,

що називають коефіцієнтами системи рівнянь (перший індекс відповідає номеру рівняння, другий – номеру невідомої величини),b