Системи числення

Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення. Звичайною для нас і загальноприйнятою є позиційна десяткова система числення. Як умовні знаки для запису чисел вживаються цифри.
Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається непозиційною. Система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа, називається позиційною.
Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення. Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями цифр встановити значення числа.
Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел.
Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І - один, V - п'ять, Х - десять, С - сто, Z - п'ятдесят, D -п'ятсот, М - тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення незручно й складно виконувати арифметичні операції.
Позиційні системи числення
Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.
Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад
130678=1*105+3*104+0*103+6*102+7*101+8
Тут 10 є основою системи числення, а показник степеня - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля). Арифметичні операції у цій системі виконують за правилами, запропонованими ще в середньовіччі. Наприклад, додаючи два багатозначних числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. При цьому все зводиться до додавання однозначних чисел, для яких необхідним є знання таблиці додавання.
Проблема вибору системи числення для подання чисел у пам'яті комп'ютера має велике практичне значення. В разі її вибору звичайно враховуються такі вимоги, як надійність подання чисел при використанні фізичних елементів, економічність (використання таких систем числення, в яких кількість елементів для подання чисел із деякого діапазону була б мінімальною). Для зображення цілих чисел від 1 до 999 у десятковій системі достатньо трьох розрядів, тобто трьох елементів. Оскільки кожен елемент може перебувати в десятьох станах, то загальна кількість станів - 30, у двійковій системі числення 99910=1111100, необхідна кількість станів - 20 (індекс знизу зображення числа - основа системи числення). У такому розумінні є ще більш економічна позиційна система числення - трійкова. Так, для запису цілих чисел від 1 до у десятковій системі числення потрібно 90 станів, у двійковій - 60, у трійковій - 57. Але трійкова система числення не дістала поширення внаслідок труднощів фізичної реалізації.
Тому найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів. Ця система є близькою до оптимальної за економічністю, і крім того, таблички додавання й множення в цій системі елементарні:
+ | 0 | 1 | * | 0 | 1
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0
1 | 1 | 10 | 1 | 0 | 1
Оскільки 23=8, а 24=16 , то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовують шістнадцяткову й вісімкову системи числення. Нижче в таблиці 1 наведені перших 16 натуральних чисел записаних в десятковій, двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення.
Таблиця 1
10 | 2 | 8 | 16
0 | 0000 | 0 | 0
1 | 0001 | 1 | 1
2 | 0010 | 2 | 2
3 | 0011 | 3 | 3
4 | 0100 | 4 | 4
5 | 0101 | 5 | 5
6 | 0110 | 6 | 6
7 | 0111 | 7 | 7
8 | 1000 | 10 | 8
9 | 1001 | 11 | 9
10 | 1010 | 12 | A
11 | 1011 | 13 | B
12 | 1100 | 14 | C
13 | 1101 | 15 | D
14 | 1110 | 16 | E
15 | 1111 | 17 | F
В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8
у двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012
Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).
Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
1. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q, використовуючи арифметику нової системи числення з основою q, потрібно записати коефіцієнти розкладу, основи степенів і показники степенів у системі з основою q і виконати всі дії в цій самій системі. Очевидно, що це правило зручне при переведенні до десяткової системи числення.
Наприклад:
з шістнадцяткової в десяткову:
92C816=9*10163+2*10162+C*10161+8*10160= 9*16103+2*16102+12*16101+8*16100=37576
з вісімкової в десяткову:
7358=7*1082+3*1081+5*1080= 7*8102+3*8101+5*8100=47710
з двійкової в десяткову:
1101001012=1*1028+1*1027+ 0*1026+1*1025+0*1024+0*1023+ 1*1022+0*1021+1*1020= 1*2108+1*2107+0*2106+1*2105+ 0*2104+0*2103+1*2102+0*2101+ 1*2100=42110
2. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q з використанням арифметики старої системи числення з основою p потрібно:
для переведення цілої частини:
послідовно число, записане в системі основою p ділити на основу нової системи числення, виділяючи остачі. Останні записані у зворотному порядку, будуть утворювати число в новій системі числення;
для переведення дробової частини:
послідовно дробову частину множити на основу нової системи числення, виділяючи цілі частини, які й будуть утворювати запис дробової частини числа в новій системі числення.
Цим самим правилом зручно користуватися в разі переведення з десяткової системи числення, тому що її арифметика для нас звичніша.


Використана література
Курс користувачів персональним комп’ютером. Автори : Г.В.Саєнко та Т.Б.Волобуєва. 2006 рік.
Практичний курс інформатики. Автори : В.Д.Руденко; О.М.Макарчук; М.О.Патланжоглу.
Караванова Т. П. Розвиток творчості учнів при вивченні інформатики: Авторська програма погли-бленого вивчення інформатики.—Чернівці: ОНМІПО, 2006.—44с.
Рудненко В.Д.,Макарчук О.М., Патланжоглу М.О.Практичний курс інформатики / За ред. Мадзігона В.М. - К.:Фенікс, 2007. -304 с.
Глушаков С.В. ,Персональний комп'ютер. Учебний курс.-Харків:Фомо;М.:ООО.Фирма "Издательство Аст",2004.-499с.
Гордієнко Г.В. Входження України у всесвітню систему інформації. // Нова політика. - 1999 р. - №5 – С. 64-67.
Демінський С.О. Гроші в Мережі. // Політика і культура. - 2001. - №5 (88) / 13-19 лютого. - С. 34-36.
Демонополізація “Інтернету”. // Молода дипломатія. - 2000. - №4 (18). – 17 с.
Інформаційна тривога. // Пробудись. - 1998. - 8 січня. – С. 3-12.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать