Виведення формули Сімпсона

План

1. Вступ

2. Виведення формули Сімпсона

3. Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона

4. Приклад

5. Програма на мові Pascal

Висновок

6. Використана література

Вступ

Обчислювальну техніку останніми разами широко застосовують у всіх сферах діяльності людини. Вона стала каталізатором науково–технічного процесу.

Історія розвитку обчислювальної техніки починається з 1945 року, коли американський вчений Фал Нейман та інші визначили основні принципи побудови ЕОМ (так звані основні принципи програми управління).

У 1946 р. в Пенсильванському університеті було побудовано першу машину – “Машину 1-го покоління”. Найхарактернішою ознакою цих машин було використання електричних ламп. Потім з’явилися зовнішні запам’ятовуючі пристрої – пристрої вводу інформації. Лампові машини мали великі габарити, у них була мала ємкість оперативної пам’яті, було слабке математичне забезпечення. Пізніше з’явилися напівпровідникові пристрої. Ці машини були більш надійними, мали менші габарити. На початку 60-тих років була розроблена технологія виробництва інтегральних схем. Це вирішило проблеми надійності і цінноссті машин ЕОМ.

З 1968 р. Починається ІІІ покоління ЕОМ. Використовується постійна пам’ять. Важливим кроком в цьому поколінні є використання дисплея, з’явилась уже клавіатура. З середини 80-тих років поряд з машинами ІІІ-го покоління з’являються машини ІV-го покоління. Характерною особливістю ІV-го покоління є використання інтегральних систем.

Обчислювальні машини можна використовувати ефективно лише за умови глибокого знання чисельних методів математики.

Бурхливий розвиток ЕОМ сприяв широкому процесу математизації науки, техніки і господарства в цілому. Саме розробка і застосування математичних методів розв’язування прикладних задач на базі ЕОМ є предметом сучасної прикладної математики.

Математика – одна з найдавніших наук – виникла з практичних потреб людини.

Застосування швидкодіючих ЕОМ для розв’язування складних прикладних задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі математичних моделей – обчислювальний експеримент.

Виділяють 5 етапів технологічного циклу обчислювального експерименту, побудова математичної моделі задачі, розробка методу розв’язування математичної моделі, програмування, розрахунки на ЕОМ, аналіз результатів розрахунків і застосування.

Завдяки обчислювальному експерименту вдалося розв’язати не тільки багато важливих прикладних задач, а й перевірити гіпотези класичної математики.

Відомо топологічною задачею є проблема 4-рьох фарб. Ця гіпотеза була підтверджена в 1976 р. американським математиком Аппелем і Хакеном за допомогою ЕОМ.

Виведення формули Сімпсона.

Щоб побудувати триточкову квадратурну формулу з рівновіддаленими вузлами для обчислення наближеного значення , де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h; f(x0-h)),(x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах від х0-h до x0+h.

Проте таку квадратурну формулу будуватимемо тут, користуючись методом невизначених коофіцієнтів. Цей метод, крім того, дає змогу досить просто обчислити її залишковий член. Отже, побудуємо квадратурну формулу вигляду: 1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.

Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули Тейлора. Маємо:

, ,

,

.

Підставляючи ці значення функції f(x),f(x0-h).f(x0+h) у формулу 1 і беручи до уваги, що , (тут за загальною теоремою про середнє , для залишкового члена R(f) дістанемо:

.

Невідомі коофіцієнти А і В доберемо так, щоб

Звідси знаходимо .

За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули 1.

.

Але f(iv) неперервна на [х0-h,x0+h], тому існує точка [x0-h,x0+h] така, що

Отже, , 2

Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:

3

Це і є квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третього степеня, бо похідна четвертого порядку від такого многочлена дорівнює 0.3 формули 2 легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона: .

Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [x2k;x2k+2],(k=0,1,…,n-1) застосовують формулу Сімпсона 3.

Тоді , де .

Оскільки f(iv)(x) не перервна на відрізку [a;b], то існує точка така, що .

Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом вигляду:

. 4

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:

5

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона:

,

6Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю , то відповідний крок інтегрування визначається нерівністю , або, що те саме відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин, де

7

За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла з кроком h=0.1 і оцінимо повну абсолютну похибку .

Користуючись цією таблицею

k xk fk=f(xk) k xk fk=f(xk)

0 0 0 6 0,6 0,4952014

1 0,1 0,0995004 7 0,7 0,5355896

2 0,2 0,1960133 8 0,8 0,5573654

3 0,3 0,2866010 9 0,9 0,5594490

4 0,4 0,3684244 10 1,0 0,5403023

5 0,5 0,4387913

за формулою знайдемо: Іан = 0,38177448 ≈ 0,3817745.

Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою , треба знайти похідну четвертого порядку функції f(x)=xcosx. Маємо: , звідки

Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6 (a=0;b=1;h=0.1M4=5)дістанемо |R(f)|≤0.278х10-5.

Похибка остаточного округлення ∆0=0.2х10-7, а неусувна похибка , бо , а значення підінтегральної функції f у вузлах xk(k=0.1,…,10) обчислювали з точністю 0.5х10-7 тобто ∆f=0.5х10-7.

За формулою для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку:

∆І=0.278х10-5+0.5х10-7+0.2х10-7=0.285х10-5

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать