Условие: На производстве четырёх видов кабеля выполняется пять групп технологических операций. Нормы затрат на 1 км. кабеля данного вида на каждой из групп операций, прибыль от реализации 1 км. каждого вида кабеля, а также общий фонд рабочего времени, в течение которого могут выполняться эти операции, указаны в таблице. Определить такой план выпуска кабеля, при котором общая прибыль от реализации изготовляемой продукции является максимальной. Технологическая операция Нормы затрат времени на обработку 1 км кабеля вида Общий фонд рабочего времени (ч) 1 2 3 4 Волочение а11 а12 а13 а14 А1 Наложение изоляций а21 а22 а23 а24 А2 Скручивание элементов в кабель а31 а32 а33 а34 А3 Освинцовывание а41 а42 а43 а44 А4 Испытание и контроль а51 а52 а53 а54 А5 Прибыль от реализации 1 км кабеля В1 В2 В3 В4 №вар. а11 а12 а13 а14 а21 а22 а23 а24 а31 а32 а33 а34 а41 1 1,5 1 2 1 1 2 0 2 4 5 5 4 2 № вар. а42 а43 а44 а51 а52 а53 а54 А1 А2 А3 А4 5 1 1 4 0 1 2 1,5 4 6500 4000 11000 4500 4500 В1 В2 В3 В4 1 2 1,5 1
Решение: Составляем математическую модель задачи: пусть x1 –длина 1-ого кабеля (км); x2 – длина 2-ого кабеля (км); x3 – длина 3-ого кабеля (км); x4 – длина 4-ого кабеля (км) тогда целевая функция L - общая прибыль от реализации изготовляемой продукции, будет иметь следующий вид L= В1x1 + В2x2 + В3x3 + В4x4 = x1+ 2x2 + 1,5x3 + x4 → max Получим систему ограничений: 1,5x1 + x2 + 2x3+ x4 £ 6500; x1 + 2x2 + 0x3+2x4 £ 4000; 4x1 + 5x2 + 5x3+4x4 £11000; 2x1 + x2 +1,5x3+0x4 £ 4500; x1 + 2x2 +1,5x3+4x4 £ 4500. Приведём полученную математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств: 1,5x1 + x2 + 2x3+ x4 + x5 = 6500; x1 + 2x2 + 0x3+2x4 + x6= 4000; 4x1 + 5x2 + 5x3+4x4 + x7=11000; 2x1 + x2 +1,5x3+0x4 + x8 =4500; x1 + 2x2 +1,5x3+4x4 + x9 =4500. Итак, выберем x1, x2, x3, x4 - свободными переменными, а x5, x6, x7, x8, x9 - базисными переменными (каждая из них встречаются в системе лишь в одном уравнении с коэффициентом 1, а в остальных с нулевыми коэффициентами). Приведём систему к стандартному виду, выразив для этого все базисные переменные через свободные: x5 = 6500 – (1,5x1 + x2 + 2x3+ x4 ); x6 = 4000 – ( x1 + 2x2 + 0x3+2x4); x7 =11000 - ( 4x1 + 5x2 + 5x3+4x4); x8 =4500 – ( 2x1 + x2 +1,5x3+0x4); x9 =4500 – ( x1 + 2x2 +1,5x3+4x4) L=0 –(- x1- 2x2 - 1,5x3 - x4) Решим методом симплекс-таблиц: Это решение опорное, т.к. все свободные члены положительны. Выберем столбец в таблице, который будет разрешающим, пусть это будет x1, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x8). A L 0 2250 -1 0,5 -2 0,5 -1,5 2 -1 0 6500 -3375 1,5 -0,75 1 -0,75 2 -3 1 0 4000 -2250 1 -0,5 2 -0,5 0 -2 3 0 11000 -9000 4 -2 5 -2 5 -8 4 0 x8 4500 2250 2 0,5 1 0,5 4 2 0 0 x9 4500 -2250 1 -0,5 2 -0,5 1,5 -2 4 0 Меняем и A x8 L 2250 1000 0,5 -1 -1,5 0,5 0,5 -1,5 -1 2 3125 -500/3 -0,75 1/6 0,25 -1/12 -1 0,25 1 -1/3 1750 -1000 -0,5 1 1,5 -0,5 -2 1,5 3 -2 2000 2000/3 -2 -2/3 3 1/3 -3 -1 4 4/3 2250 -1000/3 0,5 1/3 0,5 -1/6 2 0,5 0 -2/3 x9 2250 -1000 -0,5 1 1,5 -0,5 -0,5 1,5 4 -2 Меняем и x9 A x8 L 3250 250 -0,5 0,5 0,5 -0,5 -1 1 1 2 8875/3 187,5 -7/12 0,375 -1/12 -0,375 -0,75 0,75 2/3 1,5 750 125 0,5 0,25 -0,5 -0,25 -0,5 0,5 1 1 2000/3 250 -2/3 0,5 1/3 -0,5 -1 1 4/3 2 5750/3 -625 5/6 -1,25 -1/6 1,25 2,5 -2,5 -2/3 -5 x9 250 250 0,5 0,5 -0,5 -0,5 1 1 2 2 A x8 x9 L 3500 0 0 1 3 18875/6 -5/24 -11/24 0,75 13/6 875 0,75 -0,75 0,5 2 2750/3 -1/6 -1/6 1 10/3 3875/3 -5/12 13/12 -2,5 -17/3 250 0,5 -0,5 1 2 Видим, что коэффициенты при переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение будет оптимальным. Итак, =0, =3875/3, =2750/3, =250, L=3500. Ответ: если предприятие будет изготавливать только три вида проволоки 1,2,3 причем 3875/3 км, 2750/3 км, 250 км соответственно, то общая прибыль от реализации изготовляемой продукции будет максимальной и равной 3500(ед).
Задача 2 (№28) Условие: С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax ³ £B, где CT = [ c1 c2 . . . c6 ]T , ВT = [ b1 b2 . . . b6 ]T , XT = [ x1 x2 . . . x6]T , А= [aij] (i=1,6; j=1,3). № вар. с1 с2 с3 с4 с5 с6 b1 b2 b3 Знаки ограничений a11 a12 a13 a14 1 2 3 28 -6 0 1 -1 -1 0 8 2 3 = = = 4 1 1 2 № вар. a15 a16 a21 a22 a23 a24 a25 a26 a31 a32 a33 a34 a35 a36 Тип экстрем. 1. 34 1 0 2 -1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 max Решение: Получим систему: 4 x1 + x2 + x3+2x4 + x5 =8; 2x1 - x2 +x4=2; x1 + x2+x5=3 L= -6x1+ x3 -x4 -x5 → max Пусть x2, x4 – свободные переменные, а x1, x3, x5 - базисные переменные. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы: x5 =2-(1,5x2 -0,5 x4); x3 =6-(1,5x2 +0,5 x4); x1=1-(-0,5x2+0,5x4) L=-2-(3x2- x4) → max Составим симплекс-таблицу: Выберем разрешающим столбцом x4,т.к. только перед этой переменной в целевой функции отрицательное число, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x1). Меняем x4 и x1 b x2 x4 L -2 2 3 -1 -1 2 x1 1 2 -0,5 -1 0,5 2 1/0,5=2 6 -1 1,5 0,5 0,5 -1 6/0,5=12 2 1 1,5 -0,5 -0,5 1 b x2 x1 L 0 2 2 x4 2 -1 2 5 2 -1 3 1 1 Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны. Итак, x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0. Ответ: x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.
Задача 3 (№8) Условие: Решение транспортной задачи: 1. Записать условия задачи в матричной форме. 2. Определить опорный план задачи. 3. Определить оптимальный план задачи. 4. Проверить решение задачи методом потенциалов. №вар. а1 а2 а3 b1 b2 b3 b4 b5 с11 с12 с13 8 200 200 600 200 300 200 100 200 25 21 20 с14 с15 с21 с22 с23 с24 с25 с31 с32 с33 с34 с35 50 18 15 30 32 25 40 23 40 10 12 21 Решение: Составим таблицу транспортной задачи. Заполним таблицу методом северо-западного угла: B1 B2 B3 B4 B5 ai A1 25 200 21 20 50 18 200 A2 15 30 200 32 25 40 200 A3 23 40 100 10 200 12 100 21 200 600 bj 200 300 200 100 200 1000 Количество заполненных ячеек r=m+n-1=6. Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток: r =6, å ai=å bj=1000, всё выполняется, значит, найденный план является опорным. L=25*200+30*200+40*100+10*200+12*100+21*200=22400 Постараемся улучшить план перевозок. 1) Рассмотрим цикл (1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1) Подсчитаем цену цикла: j=15-30+21-25=-19<0 B1 B2 B3 B4 B5 ai A1 25 21 200 20 50 18 200 A2 15 200 30 32 25 40 200 A3 23 40 100 10 200 12 100 21 200 600 bj 200 300 200 100 200 1000 L=21*200+15*200+40*100+10*200+12*100+21*200=18600 2) Рассмотрим цикл (2;1)-(2;2)-(3;2)-(3;1) j=-15+30+23-40=-20 21-21=0 200 20+7>0 50+5>0 18-4>0 200 A2=9 15-9-6=0 100 30-21-9=0 100 32-9+7>0 25+5-9>0 40-4-9>0 200 A3=17 23-17-6=0 100 40-21-17>0 10+7-17=0 200 12+5-17=0 100 21-4-17=0 200 600 bj 200 300 200 100 200 1000 Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных. Тогда сумма всех перевозок: L=18400 Ответ: B1 B2 B3 B4 B5 ai A1 25 21 200 20 50 18 200 A2 15 100 30 100 32 25 40 200 A3 23 100 40 10 200 12 100 21 200 600 bj 200 300 200 100 200 1000 Задача 4 (№53) Условие: Определить экстремум целевой функции вида F = c11x12+c22x22+c12x1x2+b1x1+b2x2 при условиях: a11x1+a12x2p1 a21x1+a22x2p2. 1. Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки. 2. Составить функцию Лагранжа. 3. Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера. 4. Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования. 5. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости. № b1 b2 c11 c12 c22 extr a11 a12 a21 a22 p1 p2 Знаки огр. 1 2 53 6 1,5 -2 -4 –1 max 2,5 -1 3 2,5 7 13 ³ ³ Решение: Целевая функция: F= -2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2→max Ограничения g1(x) и g2(x): 2,5x1-x2³7 2,5x1-x2–7³0 3x1+2,5x2³13 3x1+2,5x2-13³0 1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20): → 2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции F11 (х10, х20) = -4 < 0 F12 (х10, х20)=-4 F21 (х10, х20)=-4 F22 (х10, х20)=-2 F11 F12 -4 -4 F21 F22 -4 -2 Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки 3) Составляем функцию Лагранжа: L(x,u)=F(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2+u1 (2,5x1-x2–7)+ u2 (3x1+2,5x2-13). Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера: i=1;2 Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В: Система А: Система В: Перепишем систему А: 6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 <0 1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 <0 2,5x1-x2–7³0 3x1+2,5x2–13³0 4)Введем новые переменные V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0 в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства: 6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1=0 1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2=0 2,5x1-x2–7- w1=0 3x1+2,5x2–13- w2=0 Тогда - v1=6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 - v2=1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 w1=2,5x1-x2–7 w2=3x1+2,5x2–13 Следовательно, система В примет вид: - это условия дополняющей нежесткости. 5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных. Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы 6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0 1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2 -y2=0 2,5x1-x2–7- w1=0 3x1+2,5x2–13- w2=0 и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min Y’=-Y= -My1-My2→max. В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2; а в качестве базисных y1, y2, w1, w2. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы: y1=6-(4x1+4x2-2,5u1-3u2 - v1) y2=1,5-(4x1+2x2+u1-2,5u2 -v2) w1=-7-(-2,5x1+x2) w2=-13-(-3x1-2,5x2) Y’=-Y=-My1-My2=-7,5M-(-8x1-6x2+1,5u1+5,5u2+ v1+v2) M Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:
Литература. 1) Курс лекций Плотникова Н.В. 2) Пантелеев А.В., Летова Т.А. «Методы оптимизации в примерах и задачах».
Рефераты по информатикеУсловие: На производстве четырёх видов кабеля выполняется пять групп технологических операций. Нормы затрат на 1 км. кабеля данного вида на каждой из
Оценок: 440 (Средняя 5 из 5)
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов.