Построение детерминированной программой математической модели кристаллизации сплава системы Fe-C

Цель работы – знакомство с методикой построения детерминированной модели и разработка численной модели металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами.
Система – целесообразная совокупность взаимодействующих элементов, которая ориентирована на выполнение той или иной функции. Системы классифицируются по различным параметрам. По пространственной структуре бывают системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами.
Система с сосредоточенными параметрами имеет равномерное распределение выходных параметров по объёму и характеризуется их осреднёнными величинами.
Система с распределёнными параметрами имеет более сложную структуру, в ней выходные параметры неравномерно распределены по объёму.
Модель – объект, находящийся по отношению к натурному объекту в отношении подобия (т.е. взаимно-однозначного соответствия); приближённое описание процессов, происходящих в системе, ориентированное на выполнение определённых функций.
Детерминированные модели описывают процессы с известным механизмом с помощью физико-химических уравнений, влияние случайных возмущений не учитывается.
Постановка задачи:
Необходимо разработать математическую модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C с учётом равновесного выделения твердой фазы по диаграмме состояния. Изменение температуры данного сплава происходит в интервале от tз=1800°С (температуры заливки в форму) до tк=800°С (конечной температуры охлаждения слитка). Удельная теплоёмкость сплава С=444 Дж/(кг·К), его плотность ρ=7000 кг/м3 , коэффициент теплоотдачи α=126,5 Вт/(м2 ·К), скрытая теплота фазового превращения L=277 кДж/кг.
Поскольку мы имеем дело с системой с сосредоточенными параметрами, то модель, с помощью которой мы будем описывать процессы, происходящие в системе, так же будет с сосредоточенными параметрами, то есть будет характеризоваться осреднёнными параметрами.
Построение физической модели:
На рисунке 2 показан характер изменения температуры во времени при охлаждении сплава заданного состава. Разобьем температурный интервал охлаждения слитка сплава Fe – 0,16 % C на участки:
I. Участок жидкого состояния.
При заданной температуре заливки tз=1800°С сплав Fe – 0,16 % C находится в жидком состоянии; жидкость охлаждается до пересечения с линией А-В при температуре ликвидуса (tliq ) в точке А1 .
II. В точке А1 начинается выпадение из расплава кристаллов феррита,
Ж → Ф
при этом концентрация жидкости меняется по линии А-В, а концентрация феррита – по линии А-С.
III. В точке С1 , когда сплав достигает температуры перитектики (tp=1499°С), выпадение кристаллов феррита заканчивается. При данной температуре происходит перитектическое превращение:
Ж + Ф → А
С-С1 -В – линия нонвариантного перитектического превращения.
IV. Ниже точки С1 охлаждение идёт в области диаграммы, соответствующей твёрдому состоянию сплава, до заданной температуры охлаждения слитка tк=800°С.
Для дальнейшего построения физической модели примем следующие допущения:
- для простоты модели будем рассматривать систему как объём с сосредоточенными параметрами, т. е. не учитывая перепада температур по сечению слитка и принимая его в качестве материальной точки, имеющие постоянные поверхность теплообмена F, объем V и плотность ρ;
На рисунке 3 изображён слиток заданного сплава:

(м2 ), (м3 ).
- теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи α, т.е. пренебрежём лучистым (радиационным) теплообменом;
- основные параметры системы (плотность р, теплоемкость С, теплота кристаллизации L) являются постоянными, не зависящими от температуры и состава выделяющихся фаз, в том числе не учитываются объёмные изменения и физико-химическое взаимодействие между сплавом и окружающей средой;
- при расчете предполагаем линии диаграммы состояния отрезками прямых (линейные зависимости) и рассчитываем соответствующие концентрации как линейные функции от температуры.
Формулировка математической модели .
Основным соотношением рассматриваемой математической модели является уравнение баланса энергии: изменение внутренней энергии слитка dQc равно количеству денного в среду тепла dQB . Теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона:
, (1)
где α – коэффициент теплоотдачи от поверхности слитка площадью F и объёмом V в окружающую среду;
tcp - температура окружающей среды;
t - температура слитка;
τ - время.
В общем случае изменение внутренней энергии сплава в зависимости от этапа кристаллизации имеет вид
Для I и IV участков, где dm=0,
для II участка,
для III участкa, где dt=0,
(2)
где dm – изменение относительного количества твердой фазы ( т ≤ 1). Рассмотрим участки охлаждения и кристаллизации сплава Fe – 0,16 % C
I. Для первого участка охлаждения жидкой фазы от температуры заливки (tз) до температуры ликвидуса этого сплава (tn ) уравнение баланса энергии имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
, откуда .(3)
Условие окончания первого этапа охлаждения жидкого металла имеет вид:

Значение tл (С0 ) рассчитываем по диаграмме состояния в виде линейного соотношения
, где С0 – состав сплава.
Зависимость температуры ликвидуса от состава сплава при допущении о прямолинейности линий диаграммы состояния находим в виде уравнения прямой
по двум точкам. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при С=0% tл =1539°С; при С=0,51% tл =1499°С. Составим систему уравнений с использованием данных значений:
(4)
Решив эту систему, получили уравнение зависимости температуры ликвидуса от состава сплава:
tл =1539–78,43С (5)
II. Для второго участка охлаждения в интервале температур от перитектики (tp ) уравнение баланса энергии с учетом теплоты фазового превращения при выделении феррита имеет вид:
a (t –tep )Fdτ = –V С pdt + VLpdm, (6)
где в правой части содержатся дифференциалы двух взаимозависимых переменных – t и m. Для исключения «лишней» переменной и преобразования этого уравнения к виду
необходимо связать дополнительным соотношением t и m , а затем выразить dm через количество твердой фазы – феррита при температуре t в условиях равновесной кристаллизации найти из диаграммы состояния по правилу отрезков:

, (7)
где С1 (t) и С2 (t) – концентрация углерода С в жидком сплаве (линия А-В) и в феррите (линия А-С) при температуре t..
Зависимости С1 (t) и С2 (t) находим, используя допущение о том, что линии диаграммы состояния являются прямыми. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,51%. Составим систему уравнений с использованием данных значений: (8)
а = – 0,01275;
Решив эту систему, получили уравнение зависимости С1 (t)=19,62 – 0,01275t .
Аналогично находим уравнение для прямой С2 :
На линии А-С при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,1%. Составим систему уравнений: (9)
Решив эту систему, получили уравнение зависимости С2 (t)=3,85 – 0,0025t.
После соответствующих преобразований и подстановки в соотношение (7) определим темп выделения твёрдой фазы путем дифференцирования уравнения (7) для последующего использования этого выражения в математической модели (6):
, тогда

Введём обозначение dm/dt = A, тогда из (6) получим следующее дифференциальное уравнение:
a ( t –tep ) F dτ = –VС p dt + VLp Adt, откуда получаем
(10)
Условие окончания второго этапа: (11)
III Для третьего участка кристаллизации (перитектическое превращение при постоянной температуре tр ) уравнение баланса энергии принимает вид:
a(t –tep )F dτ = VLpdm , откуда (12)

(13)

Условие окончания третьего этапа: (14)
где mф – количество твёрдой фазы, которая остаётся после завершения перитектической реакции. m(1) легко определяемое по правилу отрезков на диаграмме состояния (ниже линии tр ).
IV. Для четвертого участка охлаждения твердой фазы в интервале температур от tр до tк уравнение баланса энергии по виду аналогично первому участку:

, (15)

Условие окончания четвёртого этапа: (16)
После определения всех уравнений модели переходим к выбору метода и составлению алгоритма численного решения задачи.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию