Исследование статистических характеристик случайной последовательности

Целью работы является:
1. Исследование свойств базой случайной последовательности;
2. Освоение методов оценки вероятностных характеристик случайной последовательности: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и автокорреляционной функции;
3. Освоение метода проверки гипотезы о законе распределения по критерию согласия хи-квадрат Пирсона.
II. Теоретические сведения.
1. Имитация случайных последовательностей
При моделировании сложных систем одной из важнейших частей является имитация случайных воздействий, действующих на исследуемую систему.
Существует два основных метода имитации случайных воздействий:
1. Моделирование на натурных, экспериментальных данных
2. Моделирование с помощью алгоритмических датчиков.
При реализации первого способа приходиться сталкиваться с трудностями последовательного ввода в оперативную память ЭВМ больших массивов информации и изменения параметров случайных воздействий. Свободным от этих недостатков, более предпочтительным является второй способ, позволяющий программно реализовать случайные воздействия на ЭВМ и легко изменять их характеристики. В основе этого метода положена генерация некоторых стандартных объектов, назваными базовыми случайными воздействиями и последующее их функциональное преобразование. Таким базовым случайным воздействием является последовательность чисел x1,x2,……,xn, представляющих собой реализацию независимых равномерно распределенных в интервале [0,1] случайных воздействий.
В данной работе в качестве базовой случайной последовательности x1,x2,……,xm рассматривается М-последовательность, вырабатываемая генератором псевдослучайных чисел. Генератор строится на базе регистра, состоящего из n ячеек хi﴾i=1,n﴿, в которых записываются целые числа от 0 до ﴾q-1 ﴿, где q-основание системы исчисления ﴾Рис1.﴿ Случайные числа М- последовательности снимаются с последнего элемента регистра Хn. Числа записанные в ячейках Хm и Хn складываются по модулю q т.е.
R=Xm+Xn(1)
где "+"- знак сложения по модулю q.
Сложение по модулю q означает, что сумма R не должна превышать и быть равной q. В противном случае
R=R-q(2)
затем производится сдвиг чисел в регистре:
Хi :=Хi -1 -1 (i=n,2) (3)
В первую ячейку записывается содержимое сумматора:
Х1 :=R(4)
Такая процедура повторяется М раз:
M=qn -1 (5)

где М- общее количество случайных чисел, вырабатываемых генератором.
q- основание системы исчисления
n- количество разрядов в регистре генератора.
В результате проведения повторяющихся циклов получается базовая псевдослучайная последовательность x1,x2,……,xm
Рис1. Генератор псевдослучайных чисел
2. Оценка вероятностных характеристик случайной последовательности
Для полученной случайной последовательности x1,x2,……,xМ производится оценка ее вероятностных характеристик. В качестве основных вероятностных характеристик рассматриваются:
- математическое ожидание;
-среднеквадратическое отклонение;
-дисперсия;
- автокорреляционная функция.
Математическим ожиданием случайной величины х называется сумма произведений случайной величины на ее вероятность, т.е.
mx =M[x]= Xi * Pi (6)
Но, так как вероятности случайной величины Хi неизвестны, то оценка математического ожидания для случайной последовательности производится по формуле:

mX * =Xi (7)
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
DX =M [Xi -mX ]2 = [Xi -mX ]2 *Pi (8)
Так как вероятности Pi неизвестны, то оценка дисперсии производится:
DX * =[Xi -m* X ]2 (9)
Среднеквадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии, т.е.
X=(10)
Ее оценка производится по этой же формуле.
Автокорреляционной функцией называется математическое ожидание произведения отклонений случайной величины от ее математического ожидания, зависящих от величины сдвига r, как от аргумента:
K(r)=M [(Xi -mX )(Xi+r -mX )]=(Xi -mX )(Xi+r -mX )Pi (11)
Оценка автокорреляционной функции производится по формуле:
K* (r)= ( Xi -m* X )(Xi+r -m* X ) (12)
(r=1,M-r)
Для получения нормированной автокорреляционной функции необходимо все значения K* (r) поделить на оценку дисперсии DX * .
Для случайной последовательности с равномерным законом распределения нормированная автокорреляционная функция K* (r) имеет вид (Рис 2.)
Рис2. Нормированная автокорреляционная функция случайной последовательности с равномерным законом распределения
3. Оценка закона распределения
Оценка закона распределения при большом объеме случайной последовательности производится по статистическому ряду, графическое изображение которого называется гистограммой. Для построения гистограммы диапазон возможных значений случайной последовательности разбивается на L участков точками U1,U2,…UL-1 (Рис 3.)
Крайние точки U1 и UL в общем случае могут быть бесконечными. Длины участков U могут быть не обязательно одинаковыми. Если они различные, то чаще всего они выбираются так, чтобы вероятности попаданий во всех участках были одинаковы или близки друг к другу. В связи с тем, что моделируемый генератор М-последовательности вырабатывает целые случайные числа от 0 до ﴾q-1 ﴿,то участки выделяются точками U1=1, U2=2,….Uq=q.
Статистический ряд представляет совокупность чисел V1,V2,…VL, где Vj-количество элементов последовательности попавших в j-тый участок и удовлетворяющий неравенству
Uj -1 Xj 100) пользуются критерием X2 Пирсона. По построенному статистическому ряду (гистограмме) вычисляется статистика X2 (∆)
∆=X2 =(Vj-NPj)/NPj(17)
Где Рj- вероятность попадания элемента последовательности в j – тый участок
Vj- j-тый член статистического ряда, то есть количество элементов последовательности, попавших в j тый участок
N – общее количество элементов последовательности
Распределение X2 зависит от параметра r, называемого числом "степеней свободы".
Число степеней свободы r равно числу участков L минус число независимых условий k, наложенных на закон распределения:
r=L-k(18)
Для равномерного закона распределения k= 1. Поэтому число степеней свободы равно:
r=L-1 (19)
Если для теоретического распределения задается математическое ожидание, дисперсия и другие параметры, то число степеней свободы уменьшается на число таких параметров k.
Для распределения X2 имеются специальные таблицы ( таблица1) , по значениям которых и числу степеней свободы r можно найти вероятность Р( уровень значимости) того, что мера расхождения теоретического и статистического распределения будет не меньше, чем фактически наблюдаемое в в данной серии опытов значение X2 .Если эта вероятность L весьма мала, то результаты опытов следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины X2 есть функция F(x). Поэтому эту гипотезу следует отнести как неправдоподобную.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию