Основы дискретной схемотехники

Двоичные числа
Цифровые устройства работают с двоичными числами. Двоичная система счисления или система с основанием 2 использует только цифры 0 или 1 . Эти двоичные числа называют битами (от binary digit ).
Система счисления - это код, в котором используют специальные символы для обозначения количества каких-либо объектов.
В повседневной деятельности мы пользуемся десятичной системой счисления, которая содержит десять цифр (от 0 до 9 ). Такую систему ещё называют системой счисления с основанием 10 . Двоичную систему называют системой счисления с основанием 2 .
Системы счисления характеризуются таким понятием, как значение позиции или вес разряда. Например, десятичное число 2547 можно представить как сумму 2000+500+40+7=2547 . Составляющие этой суммы и являются весами разрядов.
Рассмотрим двоичное число 1101 ("один - один - ноль - один"). В табл.10.1 приведены значения позиций и десятичный эквивалент двоичного числа.
Таблица 10.1. Значения позиций двоичных чисел
Бит единицы двоичного числа в табл.10.1 называется младшим битом (МБ), бит восьмёрки - старшим битом (СБ). Табл.10.1 даёт представление о том, как преобразовать двоичное число в его десятичный эквивалент: необходимо определить значение позиций (вес разряда) и просуммировать те из них, у которых соответствующее значение разряда двоичного числа равно 1 .
Преобразование двоичного числа 1011 0110 в его десятичный эквивалент показано в табл.10.2.
Таблица 10.2. Двоично-десятичное преобразование
Основания системы счисления называются индексами:
1011 01102=18210 .
Сделаем обратное преобразование: десятичное число преобразуем в его двоичный эквивалент.
Из рис.10.1 видно, что сначала десятичное число172 делится на 2 , что даёт число 86 и остаток 1 . Остаток 1 будет являться младшим битом (МБ) двоичного числа. Затем число 86 делится на 2 и т.д., пока не получится результат равным 0 . Последний получаемый остаток от деления будет являться старшим битом (СБ) двоичного эквивалента, т.о. 17310=1010 11012 .
Шестнадцатеричные числа
Шестнадцатеричная система счисления или система с основанием 16 , использует 16 символов от 0 до 9 и A, B, C, D, E, F. В табл.10.3 показаны десятичные числа от 0 до 15 , а также двоичные и шестнадцатеричные эквиваленты.

Таблица 10.3.
Десятичные числа и их двоичные и шестнадцатеричные эквиваленты
Десятичное Шестнадцатеричное Двоичное
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
Из табл.10.3 видно, что каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен сочетанием четырех бит. Например, представлением двоичного числа 0111 1101 в шестнадцатеричной системе является число 7D , поскольку первые четыре бита соответствуют 7 , а оставшиеся четыре бита равны D, то есть 0111 11012 = 7 D16 .
Из этого примера можно вывести общее правило перевода двоичных чисел в шестнадцатеричные: надо, начиная с младшего бита разделить двоичное число на группы из 4 бит, а затем заменить каждую такую группу шестнадцатеричной цифрой.
Например, задано двоичное число 101110 . Разделим это число на группы из 4 бит, начиная с младшего бита и на основании табл. 10.3 произведем замены этих групп шестнадцатеричными цифрами:
11102 = E; 00102 = 2 ;
1011102 = 2 E16 .
Рассмотрим обратное преобразование: шестнадцатеричное число преобразуем в двоичное. В таком преобразовании каждая шестнадцатеричная цифра заменяется своим двоичным эквивалентом из 4 бит на основании табл.10.3.
Например, шестнадцатеричное число 5 A преобразуется в число 010110102 , то есть 5 A16 = 10110102 .
Процедура преобразования шестнадцатеричного числа 3 A5 D в десятичное число показано в табл.10.4.
Таблица 10.4.
Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
Из табл.10.4 видно, что получаемое десятичное число содержит: 13 (D16 ) единиц, 5 чисел 16 , 10 (A16 ) чисел 256 и 3 числа 4096 . Каждая цифра шестнадцатеричного числа умножается на соответствующее значение позиции и эти произведения складываются. Таким образом, 3 A5 D16 = 1494110 .
Сделаем обратное преобразование. Процесс преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное похож на преобразование, полученное на рис.10.1.
Рис.10.2 показывает, что исходное десятичное число 1438210 делится на 16 , что дает результат 89810 и остаток 1410 , который преобразуется в шестнадцатеричный эквивалент 1410 = Е16 и является младшим разрядом (МР) получаемого числа. Процесс деления продолжается и последний остаток от деления 310 = 316 становится старшим разрядом (СР) результата.
Восьмеричные числа
Восьмеричная система содержит восемь цифр от 0 до 7 и является системой с основанием 8 . В табл.10.5 показаны десятичные, восьмеричные и двоичные числа.
Таблица 10.5. Десятичные, восьмеричные и двоичные числа
Рассмотрим различные преобразования. Преобразуем двоичное число 10 101 001 100 в восьмеричный эквивалент. Начиная с младшего бита двоичное число разделяем на группы из 3 бит. Затем используя табл.10.5, преобразуем каждую группу в восьмеричную цифру.
Двоичное число 010 101 001 100
Восьмеричное число 2 5 1 4
Таким образом 101010011002=25148 .
Осуществим обратное преобразование. При этом каждая восьмеричная цифра заменяется двоичным эквивалентом на основании табл.10.5.
Например, 57348=101 111 011 1002 .
Восьмеричное число 5 7 3 4
Двоичное число 101 111 011 100
Преобразование восьмеричного числа в десятичное показано в табл.10.6.
Таблица 10.6. Восьмерично-десятичные преобразования
В табл.10.6 восьмеричное число 3416 преобразуется в десятичное, которое содержит 6 единиц, 1 восьмерку, 4 числа 64 и 3 числа 512 . Каждая цифра восьмеричного числа умножается на соответствующее значение позиции и эти произведения складываются. В результате получаем 34168=180610 .
Преобразуем десятичное число 4518 в восьмеричный эквивалент. Сначала число 4518 делится на 8 . Что дает результат 564 и остаток 6 . Который ставится младшим разрядом (МР) восьмеричного числа (рис.10.3). Последний остаток от деления десятичного числа 1 на 8 дает остаток 1 , который является старшим разрядом (СР) восьмеричного эквивалента. Т.о. 451810=106468 .
Двоичные логические элементы
Используемые для обработки цифровых сигналов устройства называются логическими элементами. Те элементы, что оперируют с двоичными числами называются двоичными логическими элементами. Для идентификации логических элементов используют логические символы. В табл.10.7 приведены семь основных логических элементов цифровых схем.
Таблица 10.7. Основные логические элементы
В табл.10.7 для графического обозначения логических элементов приведены две системы - система, рекомендуемая Международной Электротехнической Комиссией (МЭК), и американская система milspec. Для описания связи входов и выходов логических элементов используются булевы функции. Основы математической логики были заложены английским математиком Дж. Булем (1815 - 1864). В табл.10.7 для задания булевых функций использовались четыре логические функции:
1) функция НЕ или инверсия (отрицание) Y=
2) функция И (конъюнкция) Y=A·B=AB
3) функция ИЛИ (дизъюнкция) Y=A+B=AB
4) функция исключающее или Y=AB
Для перечисленных логических функций справедлив ряд аксиом (тождеств) и законов, основные из которых приведены в табл.10.8.
Таблица 10.8. Основные аксиомы и законы булевой алгебры
С помощью аксиом и законов булевой алгебры (табл.10.8) можно упорядочивать и упрощать сложные логические функции сумм и произведений таким образом, что получается минимальная сумма или минимальное произведение.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию