Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов

Решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений. Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл и важное значении приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.
Любое нелинейное уравнение можно представить в виде:
(1.1)
где функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А<x0, f(b)0 для x=[a.b].
1) В качестве нулевого приближения корня выбираем правый конец отрезка [a,b], т.е. x0 =b.
2) Проводим хорду АВ0 и за первое приближение х1 принимаем абциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.
3) Второе приближение х2 получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ1 с осью ОХ.
4) Аналогичным образом строим итерационную последовательность приближений:
(1.3)
Данная итерационная последовательность сводится к корню х *.
Второй случай. Полагаем f(a)0 и f``(x)>0. В качестве нулевого приближения корня выбираем левый конец отрезка [a,b], x0 =a, в качестве неподвижного конца х=b
Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному х* уравнения (1.1).
Пример решения нелинейного уравнения
Решим нелинейное уравнение
Выберем отрезок, где есть единственное решение уравнения (1.1): . Протабулируем данную функцию. Разобьем её на 10 частей, тогда шаг будет находиться по формуле: . Составим таблицу табулирования:
x y
0,7 -0,310096924
1,03 -0,144620651
1,36 0,030805312
1,69 0,247786078
2,02 0,495075213
2,35 0,762805318
2,68 1,044535871
3,01 1,336148032
3,34 1,634948096
3,67 1,939120346
4 2,247403959
Выбираем начальное приближение. Из условия f``(x)*f(x)0, а f(x)<0, данное условие выполняется в точке х 0 =а=0,7
n x f(x) e
0 0,7 -0,310096924 -
1 1,100124925 -0,110993049 0,199103875
2 1,236601512 -0,040030408 0,070962641
3 1,284961356 -0,013016136 0,027014272
4 1,300595313 -0,004074898 0,008941238
5 1,305480901 -0,001260165 0,002814733
6 1,306990925 -0,000388218 0,000871947
7 1,307456037 -0,000119456 0,000268761
где f(x) это значение функции в данной точке, е – точность, которая равна: . Из таблицы видно, корнем уравнения будет х*=1,307456037. Корень найден с точностью 0,00268761 на 7-ой итерации.
Построим зависимость n(e), из которой будет видно количество итераций для каждого значения е.
n e
1 0,199103875
2 0,070962641
3 0,027014272
4 0,008941238
5 0,002814733
6 0,000871947
7 0,000268761
Построим график зависимости n(e):

Вычисление площадей криволинейных фигур
При решении достаточно большого круга задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла:
(2.1)
Вычисление площадей, ограниченных кривыми, работы, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.
Если непрерывная на отрезке [a,b] функция y=f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x), то интеграл (2.1) может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
(2.2)
Однако только для узкого класса функций y=f (x) первообразная F (x) может быть выражена в элементарных функциях. Кроме того, функция y=f (x) может задаваться графически или таблично. В этих случаях применяют различные формулы для приближенного вычисления интегралов. Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.
Идея численного интегрирования заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто .
Для этого отрезок интегрирования [a,b] разбивают на n равных элементарных отрезков [xi ; xi +1 ] (i =0,1,2,…,n -1), с шагом . При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций с основаниями равными h
Каждая элементарная криволинейная трапеция заменяется фигурой, площадь которой вычисляется довольно просто. Обозначим эту площадь Si . Сумма всех этих площадей называется интегральной суммой и вычисляется по формуле:
σn (2.3)
Тогда приближённая формула вычисления интеграла (2.1) имеет вид
σn (2.4)
Точность вычисления по формуле зависит от числа разбиений n . С увеличением n интегральная сумма σn приближается к точному значению интеграла
σn (2.5)
Существуют различные формулы для оценки погрешности выражения (2.4), но, как правило, они достаточно сложны. Будем проводить оценку точности приближения (5.4) методом половинного шага. Для этого циклически повторим следующую последовательность действий:
1) Разбиваем отрезок интегрирования на n равных отрезков с шагом
2) Строим σn по формуле (2.3)
3) Повторяем пункты 1) и 2) для шага h /2, т.е. для 2n и строим σ2 n
4) Если два соседних приближения близки, т.е. |σn – σ2 n |<e (2.6), то σ2 n принимаем за приближённое значение интеграла (2.1) с заданной точностью е:
σ2 n (2.7)
5) Если условие (2.6) не выполняется, то надо вернуться на пункт 3).

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию