Дослідження однокрокових методів розвязання звичайних диференційних рівнянь

Вступ
1 Короткі теоретичні відомості
2 Алгоритми методів
2.1Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння
3 Вхідні та вихідні дані1
4. Аналіз результатів моделювання
4.1 Розв’язок диференціального рівняння в Mathcad
5. Інструкція користувачу
Висновки
Література
Додаток А. Лістинг програми
Вступ
На даний момент велика роль в розвитку сучасного світу відводиться підвищенню технічного рівня обчислювальної техніки, пристроїв і засобів автоматизації. Це передбачає розвиток виробництва і широке використання промислових роботів, систем автоматичного управління з використанням мікропроцесорів і мікро-ЕОМ, створення гнучких автоматизованих виробництв. Розв'язок цих задач потребує широкого упровадження в інженерну практику методів обчислювальної математики.
Обчислювальна математика заснована на чисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. Сучасні ЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделювання складних задач науки і техніки. Нині методи дослідження проникають практично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобами пізнання.
Значення математичних моделей неперервно зростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яка неперервно удосконалюється.
В даній роботі розглянуті однокрокові методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь(на прикладі диференційного рівняння першого порядку), а саме прямий та зворотній методи Ейлера, та метод Рунге-Кутта.
Розробленна програма дозволяє розв’язати вказане диференційне рівняння методами Ейлера (прямим та зворотним) та Рунге-Кутта, порівняти їх результати та визначити похибки

1. Короткі теоретичні відомості
Найбільш простим однокроковим методом, який потребує мінімальних затрат обчислювальних ресурсів, але дає змогу обчислювати результат із порівняно низькою точністю, є метод Ейлера.
В цьому методі для оцінки наступної точки на кривій використовується лише один лінійний член в формулі Тейлора,
(1)
де визначається з початкового рівняння.
Цей процес можна розповсюдити на наступні кроки:
(2)
Метод Ейлера є методом першого порядку
(3)
де , , , - визначається як
(4)
для всіх і .
Метод Ейлера, крім значної похибки зрізання часто буває нестійким (малі локальні похибки призводять до значного збільшення глобальної).
Цей метод можна вдосконалити різними способами.
Найбільш відомі два з них: виправлений метод Ейлера і модифікований метод Ейлера (в літературі зустрічаються інші назви цих методів, наприклад, модифікований метод Ейлера й удосконалений метод ламаних).
Ітераційні формули для цих методів мають вигляд, відповідно:
(5)
І
(6)
Де
(7)
Це методи другого порядку, їх похибка має третій ступінь, що досягається покращенням апроксимації похідної. Ідея полягає у спробі зберегти або оцінити член другого порядку у формулі Тейлора. Однак збільшення точності вимагає додаткових витрат машинного часу на обчислення . Ще більш висока точність може бути досягнута при обчисленні вищих похідних і збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора. Такими методами є методи Рунге-Кутта.
Принцип на якому побудований модифікований метод Ейлера, можна пояснити, користуючись рядом Тейлора і зберігаючи в ньому член з . Апроксимація другої похідної здійснюється кінцевою різницею

(8)
Аналогічно обчисленню другої похідної в кінцево-різницевому вигляді можна обчислити більш високі похідні: значення n-ї за значеннями попередньої (n-1)-ї.
Метод Рунге-Кутта дає набір формул для обчислення координат внутрішніх точок, які потрібні для реалізації цієї ідеї. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кутта об’єднує цілий клас методів для розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку.
Найбільш розповсюджений класичний метод четвертого порядку точності:
(9)
Де
(10)
(11)
Метод Ейлера і його модифікації ще називають методами Рунге-Кутта першого і другого порядку. Метод Рунге-Кутта має значно більш високу точність, що дозволяє збільшити крок розв’язання. Його максималу величину визначає допустима похибка. Такий вибір часто здійснюється автоматично і включається як складова частина, вбудована в алгоритм, побудований за методом Рунге-Кутта.
Раніше було відзначено, що помилка зрізання при використанні методу Рунге-Кутта n-го порядку . Обчислення верхніх границь для коефіцієнта с являє собою складну задачу, пов’язану з необхідністю оцінки ряду додаткових параметрів. Існує декілька способів для оперативного обчислення с. Найбільшого поширення набув екстраполяційний метод Річардсона (ще його називають методом Рунге), коли послідовно знаходять з кроком h і з кроком , а після цього прирівнюють отримані величини та визначають с з рівняння:
(12)
що відповідає точному значенню.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию