Трехмерная графика Теория

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел ((x,y,z,1) или, более обще, (hx,hy,hz,h), где ). Эта четверка определена однозначно с точностью до общего множителя. Предложенный подход дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных , трехмерных задачах.
Как известно, любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений растяжений, отражений и переносов. Поэтому достаточно подробно описать матрицы только этих последних преобразований.
A. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол q:
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол w:
Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол x:
Б. Матрица растяжения (сжатия):
здесь a>0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс,b>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат,y>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрица отражения .
Матрица отражения относительно плоскости xOy:
Матрица отражения относительно плоскости yOz:
Матрица отражения относительно плоскости zOx:
Г. Матрица переноса :
Здесь (r,q,v)-вектор переноса.
Заметим, что, как и в двумерном случае , все выписанные матрицы не вырождены.
Ортографическая проекция - картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проектирования вдоль оси Х на плоскость YOZ имеет вид
В случае , если плоскость проектирования параллельна координатной плоскости, необходимо умножить матрицу [Px] на матрицу сдвига . Имеем
Аналогично записываются матрицы проектирования вдоль 2-х координатных осей:
Аксонометрическая проекция - проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости .
Различают три вида проекций в зависимости от взаимного расположения плоскости проектирования и координатных осей:
триметрия-нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы(рис.15);
диметрия-два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 16).
- изометрия-все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 17).
Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.
Перспективные (центральные) проекции строятся более сложно . Предположим что центр проектирования лежит на оси Z - C (0,0,c) а плоскость проектирования совпадает с координатной плоскостью XOY (рис. 19) . Возьмем в пространстве произвольную точку M(x,y,z), проведем через нее и точку С прямую и запишем ее параметрические уравнения . Имеем:
X`= xt , Y`=yt, Z`= c+(z-c)t
Найдем координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью XOY. Из того , что z`=0, получаем
Тот же самый результат мы получим, привлекая матрицу
В самом деле,
Mатрица проектирования, конечно, вырождена ; матрица же соответствующего перспективного преобразования(без проектирования) имеет следующий вид
Язык С++ предоставляет очень удобные средства, позволяющие заметно упростить работу с векторами и преобразованиями в пространстве.
Рассмотрим реализацию работы с векторами.
// Файл vector.h
#ifndef __VECTOR__#define __VECTOR__#include class Vector{public: double x, y, z; Vector () {}; Vector ( double v ) { x = y = z = v; };
Vector ( const Vector& v ) { x = v.x; y = v.y; z = v.z; };
Vector ( double vx, double vy, double vz ) { x = vx; y = vy; z = vz; };
Vector& operator = ( const Vector& v ) { x = v.x; y = v.y; z = v.z;
return *this; }
Vector& operator = ( double f ) { x = y = z = f; return *this; };
Vector operator - () const;
Vector& operator += ( const Vector& );
Vector& operator -= ( const Vector& );
Vector& operator *= ( const Vector& );
Vector& operator *= ( double );
Vector& operator /= ( double );
friend Vector operator + ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator - ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( double, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, const Vector& );
friend double operator & ( const Vector& u, const Vector& v )
{ return u.x * v.x + u.y * v.y + u.z * v.z; };
friend Vector operator ^ ( const Vector&, const Vector& );
double operator ! () { return (double) sqrt ( x * x + y * y + z * z ); };
double& operator [] ( int n ) { return *( &x + n ); };
int operator < ( double v ) { return x < v && y < v && z ( double v ) { return x > v && y > v && z > v; };
};
class Ray
{
public:
Vector Org;
Vector Dir;
Ray () {};
Ray ( Vector& o, Vector& d ) { Org = o, Dir = d; };
Vector Point ( double t ) { return Org + Dir * t; };
};
inline Vector Vector :: operator - () const
{
return Vector ( -x, -y, -z );
}
inline Vector operator + ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x + v.x, u.y + v.y, u.z + v.z );
}
inline Vector operator - ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x - v.x, u.y - v.y, u.z - v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x * v.x, u.y * v.y, u.z * v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x * f, u.y * f, u.z * f );
}
inline Vector operator * ( double f, const Vector& v )
{
return Vector ( f * v.x, f * v.y, f * v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x / v.x, u.y / v.y, u.z / v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x / f, u.y / f, u.z / f );
}
inline Vector& Vector :: operator += ( const Vector& v )
{
x += v.x;
y += v.y;
z += v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator -= ( const Vector& v )
{
x -= v.x;
y -= v.y;
z -= v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *= ( const Vector& v )
{
x *= v.x;
y *= v.y;
z *= v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *= ( double v )
{
x *= v;
y *= v;
z *= v;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator /= ( double v )
{
x /= v;
y /= v;
z /= v;
return *this;
}
inline Vector Normalize ( Vector& v ) { return v / !v; }
Vector RndVector ();
Vector& Clip ( Vector& v );
#endif
----------------------------------------------------------------------------
// Файл vector.срр
#include
#include
#include "vector.h"
Vector operator ^ ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.y * v.z - u.z * v.y,
u.z * v.x - u.x * v.z,
u.x * v.y - u.y * v.x );
}
Vector RndVector ()
{
Vector v ( rand () - 0.5 * RAND_MAX,
rand () - 0.5 * RAND_MAX,
rand () - 0.5 * RAND_MAX );
return Normalize ( v );
}
Vector& Clip ( Vector& v )
{
if ( v.x 1.0 ) v.x = 1.0;
if ( v.y 1.0 ) v.y = 1.0;
if ( v.z 1.0 ) v.z = 1.0;
return v;
}
С этой целью создается класс Vector, содержащий в себе компоненты вектора, и для этого класса переопределяются основные знаки операций.
- - унарный минус и поэлементное вычитание векторов;
+ - поэлементное сложение векторов;
* - умножение вектора на число;
* - поэлементное умножение векторов;
/ - деление вектора на число;
/ - поэлементное деление векторов;
& - скалярное произведение векторов;
^ - векторное произведение;
! - длина вектора;
[] - компонента вектора.
При этом стандартные приоритеты операций сохраняются.
Кроме этих операций определяются также некоторые простейшие функции для работы с векторами:
Normalize – нормирование вектора;
RndVector – получение почти равномерно распределенного случайного единичного вектора;
Clip – отсечение вектора.
С использованием этого класса можно в естественной и удобной форме записывать сложные векторные выражения.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию