Кручение упругопластического стержня

Содержание
Содержание. 2
1. Физическая мотивация. 3
2. Математическая корректность. 5
2.1 Существование решения. 5
2.2 Единственность решения. 6
2.3 Устойчивость решения. 6
3. Аппроксимация. 7
4. Численный метод. 8
5. Тесты.. 9
Выводы.. 16
Список литературы.. 17
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины h
– основание стержня, описываемое уравнением ,
– основание стержня, описываемое уравнением ,
– боковая поверхность стержня.
Сделаем следующие предположения:
1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4. на и ;
5. на ;
6. на ;
7. на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
(1.2)
Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где – угол закрутки на единицу длины.
В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле минимизирует функционал
(1.3)
Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:
(1.4)
Введем функцию тока и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения на части границы можно представить в виде:
(1.5)
С другой стороны, (1.6)
Следовательно, , т.е. на границе . Не умаляя общности, можем положить на . Значит, .
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
, – предел текучести материала. (1.7)
В данном примере, . Отсюда, почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем
(1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1 : Найти такое, что достигает минимума функционал
,
где , (1.9)
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .
Если ввести билинейную форму , элемент и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде
(1.10)
или в форме вариационного неравенства: (1.11)
2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово пространство,
Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть : в
Тогда в и в , при
Следовательно, ,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1. Билинейная форма – V-эллиптическая.
Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );
Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .
Получим (2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1:
Отсюда,
Форма – эллиптическая, .
Окончательно,
2.3 Устойчивость решения
Решение должно удовлетворять неравенству (2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как (2.3.2)
Неравенство (2.3.2) выполняется для : (2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)
Тогда (2.3.6)
- первое основное неравенство

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию