Теория устойчивости систем

Содержание:
1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3
2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4
3. Устойчивость тривиального решения........................................................ 4
4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5
5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5
6. Критерии устойчивости линейных систем................................................. 6
7. Второй метод Ляпунова.............................................................................. 8
8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................. 10
9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12
10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................ 12
11. Экспоненциальная устойчивость............................................................ 16
12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19
13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера....................................... 21
Список литературы....................................................................................... 23

1. Устойчивость в смысле Ляпунова
Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений , рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальны х уравнений
,
где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:
Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En +1, координатами в котором будут являться переменные t, x 1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t 0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi = si (t, xi0­), i =1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si (t0, xi0­)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t 0 ≤t≤¥ , причем t0 можно считать равным ¥ .
Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si (t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t®¥, если для любого e >0 существует такое d >0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=j i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство
| ji(t0)–si(t0)|<d,
удовлетворяет неравенству
| ji(t)–si(t)|0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство
|jk(t1)–sk(t1)|³e,
несмотря на то, что
| j i(t0)–si(t0)|0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|0 существует такое d>0, зависящее от e и от t0, что для любого решения yi= j i(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |ji(t0)|<d, выполняется неравенство |ji(t)|<e при t 0≤t<¥ для всех i =1,2,…,n.
Особое значение имеет устойчивость состояния равновесия . Состояние равновесия определяется корнями уравнения
fi(x1,x2,…,xn)=0, i=1,2,…,n.

4. Устойчивость линейных систем
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<¥.
Однородная система, соответствующая данной, имеет вид
.
Эта система имеет тривиальное решение
Любое решение однородной системы дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение. Отсюда следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и наоборот, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы.
Однородная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой.
Линейная однородная система дифференциальных уравнений устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для t³t0.
Линейная однородная система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.
Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система дифференциальных уравнений.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию