Системы счисления и представления типов данных

Содержание
1.Позиционные системы счисления. 3
2.Переходы между основными системами счисления. 5
3.Основные 16‑ичные константы.. 5
4.Реализация целочисленных операций. 7
5.Представление отрицательных чисел. 8
6.Целочисленные типы данных в языке Си. 9
7.Вещественные типы данных в языке Си. 10
8.Кодирование символов. 12
9.Схемы алгоритмов. 14
1. Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления (СС) – это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:
1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) – первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 – «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12;
3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Система счисления – способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двоичная система: {0, 1}
Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.
Десятичная система: 100 , 101 , 102 , 103 , 104 ,…, 10n ,…
Двоичная система: 20 , 21 , 22 , 23 , 24 ,…, 2n ,…
Восьмеричная система: 80 , 81 , 82 , 83 , 84 ,…, 8n ,…
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
A=an -1 an -2 …a1 a0 .a-1 …a- m
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Пример . Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16
Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:
А= ± (an-1 qn-1 +an-2 qn-2 + … +a0 q0 +a-1 q-1 +a-2 q-2 + … +a- m q- m )
Здесь А – само число, q – основание системы счисления, ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа – сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.
Пример . Десятичное число А10 = 4718,63 в развернутой форме запишется так:
А10 = 4·103 + 7·102 + 1·101 + 8·100 + 6·10-1 + 3·10-2
Двоичное число А2 = 1001,1 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1
Восьмеричное число А8 = 7764,1 = 7·83 + 7·82 + 6·81 + 4·80 + 1·8-1
Шестнадцатеричное число А16 = 3АF16 = 3·162 + 10·161 + 15·160
2. Переходы между основными системами счисления
Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.
2 ® 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8‑ичную цифру.
2 ® 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16‑ичную цифру.
8 ® 16 и 16 ® 8. Преобразование идет через двоичную СС.
Любое основание ® 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.
10 ® 16. Имеется два способа преобразования.
1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16‑ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.
2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p= 16: х ≥ 16m . Затем определяем число r вхождений степени 16m в число х. Наконец, 16‑ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х – r · 16m . Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.
3. Основные 16‑ичные константы
Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а – десятичное число, b – буква.
Таблица 1.Шестнадцатеричные константы
16‑ичная константа Десятично-буквенное значение Примечания
0х10 24 = 16 Размер параграфа
0х100 28 = 256 Размер физического сектора
0х200 512 Размер кластера на дискете
0х400 210 = 1024 = К Килобайт
0х1000 4 К
0х10000 64 К Размер сегмента
0хА0000 640 К Верхняя граница ОЗУ для размещения исполняемого кода в DOS
0х100000 220 = М Мегабайт
Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.
Таблица 2. Степени числа 2
Показатель степени Степень Примечания
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 К = 1024 » 103 , К Килобайт, Kilobyte
20 М = К·К = К2 » 106 , М Мегабайт, Megabyte
30 Г = К3 » 109 , G Гигабайт, Gigabyte
40 Т = К4 = М2 » 1012 , T Терабайт, Terabyte
50 П » 1015 , P Петабайт, Petabyte
60 Э » 1018 , E Экзабайт, Exabyte
70 З » 1021 , Z Зетабайт, Zettabyte
80 Й » 1024 , Y Йотабайт, Yottabyte
Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 245 / 218 = 227 = 128 М.
Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16‑ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.
Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.
4. Реализация целочисленных операций
Представление чисел в компьютере осуществляется в двоичной СС. Однако для краткости записи чисел используют родственную 16‑ичную СС.
Определение 1 . Логическим адресом ячейки памяти в ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричный сегментный адрес, yyyy – шестнадцатеричное смещение. Физическим адресом этой ячейки называется число xxxx0 + yyyy.
Пример . Область кода программы расположена с ячейки 55А3:3000 по ячейку 9EEF:A0FF. Оценить размер области в килобайтах.
Решение . Физический адрес начала области 0х55А30 + 0х3000 = 0х58A30, конца области 0х9EEF0 + 0хA0FF = 0хA8FEF. Размер этой области равен 0хA8FEF– 0х58A30 + 1 = 0x505C0 = 5·64 К + 0·4 К + 10· (К/4) + 12·16= (320 + 2,5) К + 192 = 322,5 К + 192.
Определение 2 . Нормализованным адресом ячейки памяти ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричное число, yyyy – шестнадцатеричное смещение, не превосходящее размера параграфа, то есть из диапазона от 0 до 15.
Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления с 16‑ичными числами осуществляются аналогично 10‑ичным числам, то есть «столбиком». Однако, имеются некоторые отличия.
Пример . Критерии деления 16‑ичного целого числа на 3 и на 5 выглядят одинаково: сумма цифр должна делится, соответственно, на 3 и на 5.
Пример . Оказывается в 16‑ичной СС 0x112 = 0x121, 0x122 = 0x144, 0x132 = 0x169.
Пример . Десятичное число 0,1 нельзя представить в виде конечной 2‑ичной дроби A= 0, a-1 …a- m = a-1 2-1 + a-2 2-2 +… + a- m 2- m . В противном случае, умножая равенство 0,1 = А на 10·2m , получим 2m = 10·(a-1 2m -1 +
a-2 2m -2 +… + a- m 20 ). Последнее равенство невозможно, так как правая часть делится на 5, а левая – нет.
5. Представление отрицательных чисел
Целые отрицательные числа хранятся в компьютере в двоичном «дополнительном» коде: положительное двоичное число необходимо побитово инвертировать и прибавить единицу.
Этот код основан на простом соображении, что x+ (-x) = 0 при сложении двоичных чисел столбиком. При этом единица, которая переходит из старшего 7‑го бита в несуществующий 8‑ой бит, пропадает. Например, для однобайтного числа x = 5 имеем
x = 5 = 0000 0101
+
– x = -5 = **** ****
____________________
0 = 0 = 0000 0000
Теперь конструируем число -5 = 1111 1011.
6. Целочисленные типы данных в языке Си
Таблица 3. Целочисленные типы данных
Название типа Размер в байтах Диапазон
unsigned char 1
0 … 255,
0. 28 -1
char, signed char 1
-128 … 127,
-27 … 27 -1
unsigned int 2 0. 65535,
0. 216 -1,
0…64K–1
int, signed int 2 -32758 … 32757,
-215 … 215 - 1,
-32 K… 32 K– 1
unsignedlong 4 0… 232 - 1,
0… 4 M– 1
long 4 -231… 231 - 1,
0… 4 M– 1
По умолчанию целые десятичные константы имеют тип int. Поэтому все целые числа должны содержаться в диапазоне -32758… 32757. Например, запись x = 100000 будет ошибочна независимо от типа переменной x. Для обозначения целой константы типа long используется суффикс l. Тогда инициализация longx = 100000l будет корректна.
Компилятор не проверяет выход результата целочисленного выражения за диапазон типа. Запись longx = 20000 + 20000 будет ошибочна, так как 40000 не содержится в диапазоне типа int. Это будет «хорошо скрытая» ошибка. Реально x будет содержать значение
40000 – 64 К. Запись longx = 20000l + 20000 будет уже корректна, так как результат будет иметь уже тип long.
Построим область корректного сложения для типа char.
char x, y, z;
x = y = 100;
z = x + y;
Нарисуем в системе координат (x, y) множество, для которого z будет содержать корректный ответ. Имеем систему
решением которой является шестиугольник.
Рис. 1. Диапазон корректного сложения
7. Вещественные типы данных в языке Си
Вещественные типы всегда имеют знак.
Определение 3 . Нормализованной формой ненулевого числа x называется запись x = M×10p , где M– мантисса, 0,1 £½M½ 0}.
Определение 5 . Машинным эпсилон для данного вещественного типа называется минимальное число того же типа, для которого 1 + x > 1
me = min {x: 1 + x > 1}.
Определение 6 . Машинной бесконечностью для данного вещественного типа называется максимальное число того же типа
m¥ = max{x}.
По диапазону типа можно определить m0 , m¥ . Машинный эпсилон определяется размером мантиссы. Так, например, для типа float имеем
m0 = 3,4×10-38 , m¥ = 3,4×1038 , me » 10-8 .
Определение 7 . «Правым соседом» числа x данного вещественного типа назовем минимальное число y того же типа, для которого x < y
«Правый сосед» х = min {y: x , <) проставляют над каждой линией потока или справа от линии потока
yi – условие i ‑го исхода, 011T1 , 016A3 , 005B5 , 015T4 – адреса исходов.
Структура адреса имеет вид:
При числе исходов более трех условие исхода проставляется в разрыве линии потока. Адрес исхода проставляется в продолжении условия исхода и отделяется от него пробелом
B5 – знак, указывающий, что условия решения даются в виде таблицы или символа «Комментарий», расположенных на данном листе в зоне B5 в символе «Соединитель» указывают координату зоны, куда должна помещаться таблица или символ «Комментарий»
Таблица 10
Символы в схемах алгоритмов
Название символа Обозначение Использование
1. Процесс Выполнение операции или группы операций, в результате которых изменяется значение, форма представления или расположение данных
2. Решение Выбор направления выполнения алгоритма или программы в зависимости от некоторых переменных условий
3. Модификация Выполнение операций, меняющих команды, или группы команд, изменяющих программу
4. Предопреде
ленный процесс Использование ранее созданных и отдельно описанных алгоритмов или программ
5. Ручной ввод Ввод данных вручную при помощи неавтономных устройства с клавиатурой, переключателей, кнопок
6. Ввод-вывод Преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) или отображения результатов обработки (вывод)
7. Документ Ввод-вывод данных, носителем которых служит бумага
8. Файл Представление организованных на основе общих признаков данных, характеризующих в совокупности некоторый объект обработки данных. Символ используется в сочетании с символами конкретных носителей данных, выполняющих функции ввода-вывода.
9. Линия потока Указание последовательности связей между символами
10. Соединитель Указание связи между прерванными линиями потока, соединяющими символы
11. Пуск-останов Начало, конец, прерывание процесса обработки данных или выполнения программы
12. Комментарий Связь между элементом схемы и пояснением
13. Межстраничный соединитель Указание связи между разъединенными частями схем алгоритмов и программ, расположенных на разных листах
Размер a должен выбираться из ряда 10, 15, 20 мм. Допускается увеличивать размер a на число, кратное 5. Размер b равен 1,5 × a. При ручном выполнении схем алгоритмов и программ допускается устанавливать b равным 2 × a.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию