Математическая теория информации

1. Количество информации, и ее мера
На вход системы передачи информации (СПИ) от источника информации подается совокупность сообщений, выбранных из ансамбля сообщений (рис. 1).
Помехи
x1 y1
x2 y2
……
xn yn
Рис. 1. Система передачи информации
Ансамбль сообщений – множество возможных сообщений с их вероятностными характеристиками – {Х, р(х)} . При этом: Х={х1 , х2 ,…, хm } – множество возможных сообщений источника; i = 1, 2,…, m , где m – объем алфавита; p(xi ) – вероятности появления сообщений, причем p(xi ) ³ 0 и поскольку вероятности сообщений представляют собой полную группу событий, то их суммарная вероятность равна единице
.
Каждое сообщение несет в себе определенное количество информации. Определим количество информации, содержащееся в сообщении xi , выбранном из ансамбля сообщений источника {Х, р(х)}. Одним из параметров, характеризующих данное сообщение, является вероятность его появления – p(xi ) , поэтому естественно предположить, что количество информации I(xi ) в сообщении xi является функцией p(xi ). Вероятность появления двух независимых сообщений x1 и x2 равна произведению вероятностей p(x1 ,x2 ) = p(x1 ).p(x2 ) , а содержащаяся в них информация должна обладать свойством аддитивности, т.е.:
I(x1 , x2 ) = I(x1 )+I(x2 ). (1)
Поэтому для оценки количества информации предложена логарифмическая мера:
. (2)
При этом наибольшее количество информации содержат наименее вероятные сообщения, а количество информации в сообщении о достоверном событии равно нулю. Т. к. все логарифмы пропорциональны, то выбор основания определяет единицу информации: loga x = logb x/logb a.
В зависимости от основания логарифма используют следующие единицы информации:
2 – [бит] (bynary digit – двоичная единица), используется при анализе ин-формационных процессов в ЭВМ и др. устройствах, функционирующих на основе двоичной системы счисления;
e – [нит] (natural digit – натуральная единица), используется в математических методах теории связи;
10 – [дит] (decimal digit – десятичная единица), используется при анализе процессов в приборах работающих с десятичной системой счисления.
Битом (двоичной единицей информации) – называется количество информации, которое снимает неопределенность в отношении наступления одного из двух равновероятных, независимых событий.
Среднее количество информации для всей совокупности сообщений можно получить путем усреднения по всем событиям:
. (3)
Количество информации, в сообщении, состоящем из n не равновероятных его элементов равно (эта мера предложена в 1948 г. К. Шенноном):
. (4)
Для случая независимых равновероятных событий количество информации определяется (эта мера предложена в 1928 г. Р. Хартли):
. (5)
2. Свойства количества информации
1. Количество информации в сообщении обратно – пропорционально вероятности появления данного сообщения.
2. Свойство аддитивности – суммарное количество информации двух источников равно сумме информации источников.
3. Для события с одним исходом количество информации равно нулю.
4. Количество информации в дискретном сообщении растет в зависимости от увеличения объема алфавита – m .
Пример 1. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны: pi0 = pi1 = 1/2.
Количество информации равно:
I = n log m = 8 log2 2 = 8 бит .
Пример 2. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны:
pi0 = 3/4; pi1 = 1/4.
Количество информации равно:

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию