Определение средней доходности

Олег Лытнев

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной, в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

ri – доходность i-го инструмента;

wi – доля (удельный вес) стоимости i-го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая, взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим rср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1))1/3-1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% - к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1

Динамика доходности акции за 3 года руб.

Из таблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода (12,88 руб.) “дороже” 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическое усреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием, хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическая доходность всегда выше среднегеометрическ