Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 2

1. Уравнение в полных дифференциалах. 3

2. Интегрирующий множитель. 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 8

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 10

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных[1] .

Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

1. Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах , т. е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что

dF (t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) О D (f) = D (g)).

Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:

F (t , x ) = C (t , x Î D ¹ ).

Доказательство. Пусть функции t = y(s ), x = j(s ) определены на некотором промежутке J Ì R . Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C эквивалентен тождеству

[f (t , x )dx + g (t , x )dt ]|_t ₌ _y _{, dt =} _y¢ _ds _{, x =} _j _{, dx =} _j¢ _ds º 0,

которое, в свою очередь эквивалентно тождеству

[d F(t , x )]|_t ₌ _y _{, dt =} _y¢ _ds _{, x =} _j _{, dx =} _j¢ _ds º 0.

Последнее в точности означает, что

d [F(t , x )]|_t ₌ _y _{, x =} _j º 0 и y, j Î D ¹ ,

или, что, то же,

F[y(s ), j(s )] º C и y, j Î D ¹ .

Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C

Û F(t , x ) = C (t , x Î D ¹ ).

Для уравнения с разделяющимися переменными f (x )dx – g (t )dt = 0 существует функция F(t , x ) = F (x ) – G (t ), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.

Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах [2] . Пусть в уравнении

f ₁ (x )dx ₁ + f ₂ (x )dx ₂ + ... + f_n (x )dx_n = 0

функции f_i (x) = f_i (x₁ , ..., x_n ) непрерывны вместе со своими частными производными ¶f_i /¶x_k (i ¹ k) на декартовом произведении интервалов J₁ × J₂ ×... × J_n = D.

Тогда левая часть уравнения f ₁ (x )dx ₁ + f ₂ (x )dx ₂ + ... + f_n (x )dx_n = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F(x) в том и только том случае, если

¶F_i

¶x_k

¶F_k

¶x_i

(i , k = 1, 2, ..., n ; i ¹ k ; x

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать Рефераты УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ. 2 1. Уравнение в полных

Оценок: 1008 (Средняя 5 из 5)

Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов.