Экзаменационные билеты по численным методам за первый семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1. Математическая модель и ее погрешности.
2. Представление чисел в ЭВМ. Работа компьютера с плавающей или фиксированной точкой.
3. Виды погрешности: неустранимая, численного метода, вычислительная, абсолютная, относительная.
4. Значение цифры числа. Верная значащая цифра числа.
5. Вычисление абсолютной и относительной погрешностей суммы (разности) двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
6. Определение абсолютной и относительной погрешностей произведения двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
7. Определение абсолютной и относительной погрешностей при делении двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
8. Устойчивые и неустойчивые задачи по исходным величинам.
9. Корректно поставленная задача.
10. Системы линейных уравнений. Их математическая запись. Расширенная матрица. Геометрический смысл умножения матрицы на вектор. Эквивалентные преобразования.
11. Прямые и итерационные методы решения системных уравнений.
12. Какую матрицу называют диагональной, единичной, верхней или нижней треугольной, симметричной, ленточной, трехдиагональной?
13. Какую матрицу называют хранимой, воспроизводимой?
14. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
15. Представление исходной матрицы системы уравнений в виде произведения двух треугольных матриц. Модификация метода Гаусса.
16. Обусловленность систем линейных уравнений.
17. Итерационный метод решения систем линейных уравнений. Выбор начального приближения.
18. Приведение системы к виду, удобному для итераций.
19. Метод простой итерации.
20. Метод Зейделя.
21. Сформулируйте достаточные условия сходимости методов простой итерации и Зейделя.
22. В чем заключается метод верхней релаксации для ускорения сходимости итерационных методов?
23. Определение обратной матрицы А^-1 к матрице А и определителя матрицы А численным методом.
24. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Их геометрический смысл. Собственные значения симметричной матрицы.
25. Что называется характеристическим многочленом матрицы?
26. Чем отличается полная проблема собственных значений от частичной проблемы собственных значений?
27. Какая существует связь между собственными значениями матрицы A и обратной ей матрицы A^-1 ?
28. Как степенным методом определить наименьшее собственное значение матрицы A?
29. В чем заключается степенной метод нахождения максимального собственного значения матрицы A и соответствующего ему собственного вектора?
30. От чего зависит скорость сходимости степенного метода нахождения максимального собственного значения матрицы A?
31. Особенности решения нелинейных задач на примере одного уравнения.
32. В чем заключается отделение корней нелинейного уравнения F(x) = 0?
33. Что называется порядком сходимости итерационного метода решения одного нелинейного уравнения?
34. Что называется погрешностью приближенного значения x_k для корня x_* нелинейного уравнения?
35. Как оценить погрешность приближенного решения x_k для нахождения корня нелинейного уравнения F(x) = 0, если известно минимальное значение производной F^' (x) на отрезке [a, b]?
36. Что называется областью притяжения корня для итерационного метода решения нелинейного уравнения?
37. Что называется двусторонним приближением для нахождения корня нелинейного уравнения?
38. Какой итерационный процесс называется монотонно сходящимся?
39. Какой итерационный процесс называется колеблющимся для нахождения корня нелинейного уравнения? В чем его достоинство?
40. При каких условиях сходится метод половинного деления для нахождения корня уравнения F(x) = 0?
41. Перечислите достоинства и недостатки метода половинного деления для решения нелинейного уравнения F(x) = 0.
42. В чем заключается метод простой итерации для решения нелинейного уравнения F(x) = 0?
43. Сформулируйте достаточное условие сходимости метода простой итерации.
44. Какой порядок сходимости имеет метод простой итерации? Приведите соответствующее неравенство.
45. Сформулируйте принцип сжатых отображений для функции одной переменной.
46. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Его геометрическая интерпретация. Достаточное условие сходимости.
47. Приведите неравенство, связывающее погрешности на двух последовательных итерациях метода Ньютона нахождения корня нелинейного уравнения. Каков порядок сходимости этого метода?
48. Приведите условия Фурье для функции F(x) при решении нелинейного уравнения F(x) = 0. Где они используются?
49. В чем заключается метод секущих для решения нелинейного уравнения F(x) = 0?
50. В чем заключается комбинированный метод хорд и касательных для нахождения корня нелинейного уравнения F(x) = 0?
51. Приведите расчетные формулы метода простой итерации для решения системы нелинейных уравнений.
52. Приведите какое-либо достаточное условие сходимости метода простой итерации для решения системы нелинейных уравнений.

53. В чем заключается метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений?

1. Аппроксимация функций. В каких случаях она необходима?