Экзистенциальные суждения

Если перед субъектом суждения вставлен термин «некоторые», то тем самым предполагается, что с предикатом может быть связана какая-то часть множества, играющего роль субъекта. При этом «объем» данной части может быть неопределенным. Возможно, что она является пустым множеством, но тогда в системе анализа рассуждений необходимо предусмотреть возможность распознавания этой ситуации.

В логике термины «все» и «некоторые» играют особую роль. Они называются кванторами, и для них даже введены специальные общепринятые знаки: " (все – от английского слова All) и $ (некоторые, существует – от английского слова Exist). В нашей системе отдельные символы для кванторов не используются. Для терминов обычных суждений предполагается, что на них «навешен» квантор «все» (например, A®B переводится как "Все A есть B"), а для квантора «некоторые» предлагается использовать специальный вид суждений – экзистенциальные суждения (от слова exist – существовать). По смыслу экзистенциальное суждение – это суждение, в котором утверждается или проверяется существование некоторого множества с определенным набором свойств (предикатов). При этом имя этого множества отсутствует в списке литералов структуры, и тогда для его обозначения мы должны использовать новый литерал. А чтобы отличить его от основных (базовых) литералов, будем называть его неопределенным литералом.

По смыслу базовые литералы рассуждения – это обозначения некоторых свойств объектов и их отрицаний (например, "выполняющие обещания" и "не выполняющие обещания"). Когда мы выбираем какое-то множество литералов, то тем самым мы выделяем объекты, обладающие соответствующим набором свойств. Но может оказаться так, что в структуре не допускается существование таких объектов, потому что это противоречит логическим соотношениям структуры. Экзистенциальные суждения вводятся в основном для того, чтобы ответить на вопрос о существовании в структуре объектов с заданными свойствами.

В силлогистике Аристотеля используется всего два типа суждений, которые можно отнести к экзистенциальным. Здесь они называются частными суждениями. Это частноутвердительное суждение "Некоторые A есть B" и частноотрицательное суждение "Некоторые A не есть B". В таких суждениях, выраженных на естественном языке, смысловой акцент переносится на первый термин (A), хотя на самом деле очевидно, что речь в них идет о том, что пересечение множеств, обозначенных терминами A и B (в первом суждении) или A и (во втором суждении), не является пустым множеством. Поэтому суждение "Некоторые A есть B" равносильно суждению "Некоторые B есть A", а суждение "Некоторые A не есть B" – суждению "Некоторые не-B есть A". Данная особенность частных суждений была в свое время отмечена Льюисом Кэрроллом Она легко обосновывается, если проанализировать частные суждения с помощью Жергонновых отношений.

С учетом сказанного частные суждения Аристотелевской силлогистики выражаются в терминах E-структур следующим образом. Введем некоторый новый термин в наше рассуждение (например, W или d). Тогда Аристотелевское суждение "Некоторые A есть B" можно в E-структурах представить как W®(A, B), а суждение "Некоторые A не есть B" – как d®(A,). В терминах алгебры множеств эти суждения соответствуют формулам:

W Í (A Ç B) и d Í (A Ç).

Для сравнения приведем общепринятую формулировку частных суждений в терминах математической логики: 1) $x(A(x)ÙB(x)) и 2) $x(A(x)ÙØB(x)), которые можно выразить содержательно так: 1) «Существует хотя бы один объект x, который одновременно обладает свойствами A и B» и 2) «Существует хотя бы один объект x, который одновременно обладает свойствами A и не-B». Для решения задач моделирования и анализа полисиллогизмов на основе E-структур отпадает необходимость использования кванторов. Такое упрощение позволяет значительно расширить аналитические возможности метода.

Экзистенциальным называется суждение, в котором утверждается в посылках или доказывается в следствиях непустота пересечения двух или более множеств, обозначенных соответствующими базовыми терминами.

Из этого определения становится понятной идея обобщения частных суждений Аристотелевской силлогистики: к таким суждениям относятся суждения, у которых на месте субъекта размещается некоторый новый термин, а число предикатов суждения может быть любым.

Поэтому и методы решения задачи вывода экзистенциальных суждений значительно отличаются от методов вывода общих суждений. К изучению этих методов мы и приступим. Но прежде рассмотрим одну ситуацию, которая может ввести в заблуждение при использовании экзистенциальных суждений в качестве посылок. Ранее мы рассматривали пары контрарных суждений типа A®B и A®, при совмещении которых в рассуждении образуется коллизия парадокса. Попробуем «ослабить» второе суждение, т.е. сформулировать его не как общее, а как частное суждение W®(A,). Наша E-структура в этом случае будет содержать две посылки: A®B и W®(A,).

Если применим к этой E-структуре известные нам методы анализа, то в результате получим коллизию парадокса W®. Из нее следует, что множество «некоторые A» в этой E‑структуре должно быть равно пустому множеству. Та же ситуация будет, если мы преобразуем в частное суждение не второе, а первое суждение. Полученная E-структура

W®(A, B); A®