Дослідження однокрокових методів розвязання звичайних диференційних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут АЕКСУ

Кафедра АІВТ

Контрольна робота

з дисципліни:

“Моделювання на ЕОМ”

Дослідження однокрокових методів розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Виконав: ст. гр. 1АМ-04_____ Балко О.О.

Перевірив: доцент каф.АІВТ_____ Кабачій В.В.

2007

Вступ

1 Короткі теоретичні відомості

2 Алгоритми методів

2.1Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння

3 Вхідні та вихідні дані1

4. Аналіз результатів моделювання

4.1 Розв’язок диференціального рівняння в Mathcad

5. Інструкція користувачу

Висновки

Література

Додаток А. Лістинг програми

Вступ

На даний момент велика роль в розвитку сучасного світу відводиться підвищенню технічного рівня обчислювальної техніки, пристроїв і засобів автоматизації. Це передбачає розвиток виробництва і широке використання промислових роботів, систем автоматичного управління з використанням мікропроцесорів і мікро-ЕОМ, створення гнучких автоматизованих виробництв. Розв'язок цих задач потребує широкого упровадження в інженерну практику методів обчислювальної математики.

Обчислювальна математика заснована на чисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. Сучасні ЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделювання складних задач науки і техніки. Нині методи дослідження проникають практично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобами пізнання.

Значення математичних моделей неперервно зростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яка неперервно удосконалюється.

В даній роботі розглянуті однокрокові методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь(на прикладі диференційного рівняння першого порядку), а саме прямий та зворотній методи Ейлера, та метод Рунге-Кутта.

Розробленна програма дозволяє розв’язати вказане диференційне рівняння методами Ейлера (прямим та зворотним) та Рунге-Кутта, порівняти їх результати та визначити похибки

1. Короткі теоретичні відомості

Найбільш простим однокроковим методом, який потребує мінімальних затрат обчислювальних ресурсів, але дає змогу обчислювати результат із порівняно низькою точністю, є метод Ейлера.

В цьому методі для оцінки наступної точки на кривій використовується лише один лінійний член в формулі Тейлора,

(1)

де визначається з початкового рівняння.

Цей процес можна розповсюдити на наступні кроки:

(2)

Метод Ейлера є методом першого порядку

(3)

де , , , - визначається як

(4)

для всіх і .

Метод Ейлера, крім значної похибки зрізання часто буває нестійким (малі локальні похибки призводять до значного збільшення глобальної).

Цей метод можна вдосконалити різними способами.

Найбільш відомі два з них: виправлений метод Ейлера і модифікований метод Ейлера (в літературі зустрічаються інші назви цих методів, наприклад, модифікований метод Ейлера й удосконалений метод ламаних).

Ітераційні формули для цих методів мають вигляд, відповідно:

(5)

І

(6)

Де

(7)

Це методи другого порядку, їх похибка має третій ступінь, що досягається покращенням апроксимації похідної. Ідея полягає у спробі зберегти або оцінити член другого порядку у формулі Тейлора. Однак збільшення точності вимагає додаткових витрат машинного часу на обчислення . Ще більш висока точність може бути досягнута при обчисленні вищих похідних і збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора. Такими методами є методи Рунге-Кутта.

Принцип на якому побудований модифікований метод Ейлера, можна пояснити, користуючись рядом Тейлора і зберігаючи в ньому член з . Апроксимація другої похідної здійснюється кінцевою різницею

(8)

Аналогічно обчисленню другої похідної в кінцево-різницевому вигляді можна обчислити більш високі похідні: значення n-ї за значеннями попередньої (n-1)-ї.

Метод Рунге-Кутта дає набір формул для обчислення координат внутрішніх точок, які потрібні для реалізації цієї ідеї. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кутта об’єднує цілий клас методів для розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку.

Найбільш розповсюджений класичний метод четвертого порядку точності:

(9)

Де

(10)

(11)

Метод Ейлера і його модифікації ще називають методами Рунге-Кутта першого і другого порядку. Метод Рунге-Кутта має значно більш високу точність, що дозволяє збільшити крок розв’язання. Його максималу величину визначає допустима похибка. Такий вибір часто здійснюється автоматично і включається як складова частина, вбудована в алгоритм, побудований за методом Рунге-Кутта.

Раніше було відзначено, що помилка зрізання при використанні методу Рунге-Кутта n-го порядку . Обчислення верхніх границь для коефіцієнта с являє собою складну задачу, пов’язану з необхідністю оцінки ряду додаткових параметрів. Існує декілька способів для оперативного обчислення с. Найбільшого поширення набув екстраполяційний метод Річардсона (ще його називають

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать