Генерирование коррелированных случайных процессов в среде LabVIEW

Введение

LabVIEW (LaboratoryVirtualInstrumentEngineeringWorkbench) позволяет разрабатывать прикладное программное обеспечение для организации взаимодействия с измерительной и управляющей аппаратурой, сбора, обработки и отображения информации и результатов расчетов, а также моделирования как отдельных объектов, так и автоматизированных систем в целом. Разработчиком LabVIEW является американская компания National Instruments.

В отличие от текстовых языков, таких как C, Pascal и др., где программы составляются в виде строк текста, в LabVIEW программы создаются в виде графических диаграмм, подобных обычным блок-схемам. Иногда можно создать приложение, вообще не прикасаясь к клавиатуре компьютера.

LabVIEW является открытой системой программирования и имеет встроенную поддержку всех применяемых в настоящее время программных интерфейсов, таких как Win32 DLL, COM.NET, DDE, сетевых протоколов на базе IP, DataSocket и др. В состав LabVIEW входят библиотеки управления различными аппаратными средствами и интерфейсами, такими как PCI, CompactPCI/PXI, VME, VXI, GPIB (КОП), PLC, VISA, системами технического зрения и др. Программные продукты, созданные с использованием LabVIEW, могут быть дополнены фрагментами, азработанными на традиционных языках программирования, например C/С++, Pascal, Basic, FORTRAN. И наоборот можно использовать модули, разработанные в LabVIEW в проектах, создаваемых в других системах программирования. Таким образом, LabVIEW позволяет разрабатывать практически любые приложения, взаимодействующие с любыми видами аппаратных средств, поддерживаемых операционной системой компьютера.

1. Генерирование коррелированных случайных процессов

N-мерная плотность распределения вероятности w_N (x₁ , x₂ , …x_N ) связывает каждый отсчет случайной последовательности со всеми остальными отсчетами. Такое описание очень сложно и на практике используются более простые модели случайного процесса с зависимыми отсчетами. Наиболее известны две: марковская модель и спектрально-корреляционная модель. В марковской модели каждый отсчет случайного процесса зависит только от одного предыдущего (марковский процесс первого порядка). Для него N-мерная плотность распределения вероятности

w_N (x₁ , x₂ , … x_N ) = w(x₁ )w(x₂ /x₁ ) w(x₃ /,x₂ )*…* w(x_N / x_{N - 1} ) = w(x₁ )∏w(x_i /x_{i – 1} ).

Марковский процесс не является чисто теоретическим допущением, таким будет процесс на выходе интегрирующей цепи при подаче на ее вход белого шума.

Спектрально-корреляционная модель оперирует с двумерной плотностью распределения вероятности w(x₁ , x₂ ), связывающей отсчеты случайного процесса, взятые в разные моменты времени x₁ = x(t₁ ) и x₂ = x(t₂ ). Если изменять t₁ и t₂ , то можно исследовать попарную связь всех отсчетов между собой и, в принципе, последовательно определить все связи, описываемые N-мерным законом распределения. В спектрально-корреляционной модели для описания этой связи используется корреляционный (второй смешанный центральный) момент:

Стационарные случайные процессы характеризуются неизменностью характеристик во времени, и для таких процессов корреляционный момент не зависит от выбора начального момента времени t₁ , а определяется только величиной интервала τ = t₂ – t₁ .

Зависимость корреляционного момента от временного интервала τ между отсчетами называется корреляционной функцией R(τ) случайного процесса. При τ = 0 значение корреляционной функции максимально и равно дисперсии случайного процесса σ² . С увеличением |τ| корреляционная функция уменьшается до нуля монотонно или по колебательному закону.При моделировании всегда используется реализация случайного процесса конечной длины и в измеренной корреляционной функции появляются нескомпенсированные остатки. Уровень этих остатков тем меньше, чем больше длина реализации. На рис. 1 показаны корреляционные функции для случайной последовательности с треугольной функцией корреляции для количества отсчетов последовательности, равным 100 (рис. 1, а) и 10000 (рис. 1.б).

Рис. 1

Случайный процесс называется некоррелированным, если корреляционная функция равна нулю для любого τ, отличного от нуля. Для некоррелированного процесса R(τ) = σ² δ_к (τ), где δ_к (τ) – символ Кронекера: он равен 1 при τ = 0 и нулю при всех других τ. Вообще говоря, некоррелированность не означает независимости. Это можно пояснить следующим примером.

Рис. 2

Пусть случайная величина Y = 4X₁ ² + X₂ , где X₁ и X₂ – независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале (– 1/2, 1/2). Ясно, что Y связана с X₁ статистической зависимостью (см. рис. 2). Однако корреляционный момент

так как каждый из интегралов является интегралом от нечетной функции в симметричных пределах.

Рассмотренная статистическая связь является нелинейной и н