Построение эпюр нормальных и касательных напряжений

Контрольная работа

Материал: сталь 40.

n = 4, a = 1,4 м

P = 1,7qa т, q = 3 т/м

М₀ = 2,3qa² т·м

Решение.

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Определим расчетную нагрузку:

Р_р = Р · n = 1,7 · 3 · 1,4 · 4 = 28,56 т

q_p = q · n = 3 · 4 = 12 т/м

М_р = М₀ · n = 2,3 · 3 · 1,4² · 4 = 54,1 т · м

Q_p = q_p · a = 12 · 1,4 = 16,8 т

Схему нагружения балки заменим ее моделью, в которой действующие на балку связи заменим силами.

Определим реакции опор. Составим следующие уравнения:

∑М_А = 0

Q_p · 0,5a + M_p – P_p · 2a + Q_p · 2,5a + P_p · 3a – R_E · 4a = 0

R_E = (Q_p · 3a + M_p + P_p · a) / 4a = (16,8 · 3 · 1,4 + 54,1 + 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 29,4 т

∑М_Е = 0

R_А · 4a - Q_p · 3,5a + M_p + P_p · 2a - Q_p · 1,5a - P_p · a = 0

R_А = (Q_p · 5a - M_p - P_p · a) / 4a = (16,8 · 5 · 1,4 - 54,1 - 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 4,2 т

Проверка:

∑F = 0

R_А - Q_p + P_p - Q_p - P_p + R_E = 0

4,2 – 16,8 + 28,56 – 16,8 – 28,56 + 29,4 = 0 – равенство верно.

Построим эпюру поперечных сил методом характерных точек, ходом слева:

F_A ^пр = R_А = 4,2 т

F_В ^лев = F_A ^пр - q_p · а = 4,2 – 12 · 1,4 = -12,6 т

F_В ^пр = F_В ^лев = -12,6 т

F_С ^лев = F_В ^пр = -12,6 т

F_С ^пр = F_С ^лев + Р_р = -12,6 + 28,56 = 15,96 т

F_D ^лев = F_С ^пр - q_p · а = 15,96 - 12 · 1,4 = -0,84 т

F_D ^пр = F_D ^лев - Р_р = -0,84 – 28,56 = -29,4 т

F_Е ^лев = F_D ^пр = -29,4 т

Строим эпюру изгибающих моментов, методом характерных точек ходом слева (рис. 1). Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем. Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

М_А = 0

М_В ^лев = R_A · a – q_p · a · 0,5a = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 = -5,88 т · м

М_В ^пр = R_A · a – q_p · a · 0,5a + М_р = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 + 54,1 = 48,22 т · м

М_С = R_A · 2a – q_p · a · 1,5a + М_р = 4,2 · 2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 1,5 · 1,4 + 54,1 = 30,58 т · м

М_D = R_A · 3a – q_p · a · 2,5a + М_р + P_p · a – q_p · a · 0,5a =

= 4,2 · 3 · 1,4 – 12 · 1,4 · 3 · 1,4 + 54,1 +28,56 · 1,4 = 41,16 т · м

М_E = 0

Рис. 1

Необходимо также найти моменты в сечениях К и L.

Прежде чем определить момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в этом сечении и приравняем его к нулю.

F_K = R_A - q_p · x = 0

x = R_A / q_p = 4,2/12 = 0,35 м

Определим момент в точке К:

М_К = R_A · x – q_p · х · 0,5х = 4,2 · 0,35 – 12 · 0,35 · 0,5 · 0,35 = 0,74 т · м

Аналогично определяем момент в точке L.

x₁ = CL

F_L = R_A – q_p · a +P_p – q_p · x₁ = 0

x₁ = (R_A – q_p · a + P_p )/ q_p = (4,2 – 12 · 1,4 + 28,56)/12 = 1,33 м

М_L = R_A (2a + x₁ ) – q_p · a (1,5a + x₁ ) + M_P + P_P · x₁ - q_p · x₁ · 0,5x₁ =

= 4,2 (2·1,4 + 1,33) – 12 · 1,4(1,5 · 1,4 + 1,33) + 54,1 + 28,56 · 1,33– 12 · 1,33 · 1,33 · 0,5 =41,2 т · м

По найденным точкам строим эпюру изгибающих моментов (рис. 1).

2. Определение необходимого осевого момента сопротивления изгибу из условия прочности

Условие прочности на изгиб:

|σ_max | = |M_max | / W_тр ≤ [σ]

Из эпюры изгибающих моментов:

M_max = 48,22 т · м = 48,22 · 10⁴ Н · м – максимальный изгибающий момент.

[σ] = 650 МПа – допускаемое нормальное напряжение для стали 40.

Требуемый осевой момент сопротивления изгибу из условия прочности:

W_тр ≥ |M_max | / [σ] = (48,22 · 10⁴ ) / 650 · 10⁶ = 0,074 · 10^-2 м³

Исследуем поперечные сечения различных форм

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать