Статистический анализ
Задача 1
Анализ 10% банковских счетов населения региона, выделенных в результате бесповторного собственно-случайного отбора, показал следующее распределение:
| Размер вклада, тыс. руб | До 1,0 | 1,0–5,0 | 5,0–10,0 | 10,0–15,0 | 15,0 и выше |
| Количество вкладов, % | 20,0 | 25,0 | 40,0 | 10,0 | 5,0 |
Определите.
1. Средний размер вклада.
2. С вероятностью Р=0,954 установите возможные пределы для всей совокупности вкладов населения:
а) среднего размера вклада;
б) доли вкладов до 5 тыс. руб.
в) общей суммы вкладов.
Сделайте выводы.
Решение
1. Средний размер вклада.
Составим расчётную таблицу, которая по сути есть ряд распределения.
| Интервал | Середина интервала | Количество вкладов, % |
| 0,0–1,0 | 0,05 | 20,0 |
| 1,0–5,0 | 3,0 | 25,0 |
| 5,0–10,0 | 7,5 | 40,0 |
| 10,0–15,0 | 12,5 | 10,0 |
| 15,0–20,0 | 17,5 | 5,0 |
Рассчитываем средний размер вклада.
хср =0,05*0,2+3,0*0,25+7,5*0,4+12,5*0,1+17,5*0,05=5,885 руб.
Или, приближённо, хср =6000 руб.
2. С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для всей совокупности вкладов населения:
а) среднего размера вклада.
Предел ошибки рассчитывается по формуле:
Δ=t*μ; при вероятности Р=0,954 нормированное отклонение t=2 [стр. 36], то есть Δ=2*μ;
μ=; в нашем случае =10%, или =0,1
Так как в задаче принимается N=100%, то n=10.
Находим дисперсию σ2 :
σ2 =
σ2 = (0,05–5,885)2 *0,2+(3–5,885)2 *0,25+(7,5–5,885)2 *0,4+(12,5–5,885)2 *0,1+
+(17,5–5,885)2 *0,05=21,05
Тогда μ===1,376
Получаем: Δ=t*μ=2*1,376=2,752; получаем искомый интервал:
(5,885–2,752; 5,885+2,752), или генеральная средняя (средний размер вклада) лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954.
б) С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для доли вкладов до 5 тыс. руб.
Для доли имеем:
р=w±Δw – требуемая оценка.
Δ=t*μ, w=(20+25)/100=0,45=45,0%
При вероятности Р=0,954 нормированное отклонение t=2 [стр. 36].
Рассчитаем μ по формуле:
μ===0,222, или 22,2%.
Получаем:
Δ=2*22,2%=44,4%
Тогда пределы, в которых будет находиться доля вкладов до 5 тыс. руб., составят (45,0–44,4; 45,0+44,4)%, или (0,6; 99,4)% – искомый интервал.
в) С вероятностью Р=0,954 установим возможные пределы для всей совокупности вкладов населения для общей суммы вкладов.
Для этого распространим выборочные данные на всю совокупность вкладов.
Так как генеральная средняя (средний размер вклада) лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954, то для 100% населения сумма составит (3,133*100; 8,637*100), или (313,3; 863,7) рублей.
Сделаем выводы.
Средний размер вклада, равный 5,885 руб., лежит в интервале (3,133; 8,637) руб. с вероятностью 0,954. Доля вкладов менее 5000 руб. лежит в интервале (0,6; 99,4)%. Общая сумма вкладов находится в интервале (313,3; 863,7) рублей с вероятностью 0,954.
Задача 2
Имеются следующие данные о потерях рабочего времени на предприятии вследствие заболеваемости с временной утратой трудоспособности.
| Год | Потери рабочего времени, чел.-дни |
| 1 | 933,4 |
| 2 | 904,0 |
| 3 | 965,0 |
| 4 | 1014,1 |
| 5 | 1064,8 |
| 6 | 1122,9 |
1. Для определения тенденции изменения потерь рабочего времени проведите аналитическое выравнивание (подберите вид аналитической функции).
2. Отобразите фактические и теоретические (выровненные) уровни ряда на графике. Покажите ожидаемые уровни ряда на следующие 2–3 года, сделайте выводы.
Решение
Отобразим практические данные на графике.
1. Для определения тенденции изменения потерь рабочего времени проведём аналитическое выравнивание (подберём вид аналитической функции).
Из визуального анализа графика видно, что тенденцию потерь рабочего времени корректно представить в виде линейной функции. Найдём уравнение тренда с помощью Excel (для этого в меню «Параметры» выбираем: показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2 ):
Уравнение тренда имеет вид: y=42,257*t+852,8
2. Отобразим фактические и теоретические (выровненные) уровни ряда на графике.
График отображён на рисунке выше. Выровненные уровни ряда представим в таблице (находим с помощью уравнения тренда).
| Год | Потери рабочего времени, чел.-дни | Выровненные уровни ряда. |
| 1 | 933,4 | 895,057 |
| 2 | 904,0 | 937,314 |